2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.1 数列的概念与简单表示法课件 理 新人

§6.1数列的概念与简单表示法第六章数列与数学归纳法NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.数列的定义按照排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的.ZHISHISHULI列举法描述法图示法一定次序项2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数_____无穷数列项数_____按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1____an其中n∈N＋递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an有限无限3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.(选用)数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个来表示，那么这个____就叫做这个数列的.5.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝，n＝1，，n≥2.n公式公式递推公式Sn－Sn－1S11.数列的项与项数是一个概念吗？【概念方法微思考】提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N＋，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列.()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＝Sn－Sn－1.()××√××123456×题组二教材改编2.在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝___.12345621解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.1234563.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝______.5n－4题组三易错自纠4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是____________.解析因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ0，即λ－(2n＋1).(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ－3.123456(－3，＋∞)5.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是____.30∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.123456解析an＝－n2＋11n＝－n－1122＋1214，6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝____________________.解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，1234562，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N＋故an＝2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N＋.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一由数列的前几项求数列的通项公式师生共研例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…；解这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an＝2n2n－12n＋1.(2)－1,7，－13,19，…；解偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5).解数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝n22.(3)12，2，92，8，252，…；解将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，(4)5,55,555,5555，….故所求的数列的一个通项公式为an＝59(10n－1).求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征.(2)相邻项的变化特征.(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.(4)各项符号特征等.(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式.思维升华解析这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为跟踪训练1(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式an＝_____________.(－1)n1nn＋1an＝(－1)n1nn＋1.(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝______.2n＋1n2＋1解析数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.题型二由an与Sn的关系求通项公式师生共研解析a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝______.4n－5(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝____.－63解析∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2).当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，∴Sn＝a11－qn1－q＝－1×1－2n1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝____________.解析当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1n.2，n＝1，2n－1n，n≥2显然当n＝1时不满足上式，∴an＝2，n＝1，2n－1n，n≥2.思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，一定要检验a1的情况.跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝_______________.解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.4，n＝1，2×3n－1，n≥2解析因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，则an＝___.13n则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an＝13，所以an＝13n(n≥2).由题意知a1＝13符合上式，所以an＝13n.解析当n＝1时，a1＝S1＝23a1＋13，即a1＝1；(3)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1.(－2)n－1题型三由数列的递推关系求通项公式师生共研解析由条件知an＋1－an＝n＋1，例3设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝_________.n2＋n＋22则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋n＋22.引申探究1.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝nn＋1an”，如何求解？解∵an＋1＝nn＋1an，a1＝2，∴an≠0，∴an＋1an＝nn＋1.∴an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·n－3n－2·…·12·2＝2n.2.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？解设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列.所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.解∵an＋1＝2anan＋2，a1＝2，∴an≠0，3.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2anan＋2”，如何求解？∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝2，则1a1＝12，∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2.∴an＝2n.∴1an是以12为首项，12为公差的等差数列.当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2n2－1＝n－1.4.若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？解∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.综上所述，an＝n，n为奇数，n－1，n为偶数，n∈N＋.思维升华(4)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列.(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列.(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解.跟踪训练3(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝__________.解析由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，将以上各式累加，得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足).3×2n－1－2(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn＋1，则通项公式an＝______.4－1n解析原递推公式可化为an＋1＝an＋1n－1n＋1，则a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an－1＝an－2＋1n－2－1n－1，an＝an－1＋1n－1－1n，逐项相加得an＝a1＋1－1n，故an＝4－1n，经验证a1，a2也符合.题型四数列的性质命题点1数列的单调性多维探究A.递减数列B.递