数学中的“规则”之一：零为什么不能做除数

“0”为什么不能做除数数学中有一些知识是对客观规律的描述。比如:平面上三角形的内角之和等于180°。这类知识的特点是有较强的客观性，不以人的意志为转移。但是也有一类知识其主观性较强，是长期以来由于某种原因而人为规定或者约定俗成的。这类主观性知识的背后往往蕴含着深刻的道理，比如关于“长方形”的定义就是人为规定的。其中蕴含着人们对于概念进行种属分类的思想。小学数学中有三条熟知的结论：1.在除法运算中，“0”不能做除数，也不能做分数的分母。2.在有余数的除法中，余数要比除数小。3.在对自然数进行质数，合数的分类中，1是一个特殊的个体，它既是质数也是合数。当学生学习此类知识的时候，可能会产生疑惑。这也恰好是课程内容和教师知识结构中缺失的内容。“逐次相减”的次数就是除法运算的结果——商。上面的过程中减去2的次数是4次，所以运算的结果商为4.按照这样的理解，如果除数为0，那么被除数每次减去除数0，结果都不变，无论减去多少次都等得到同样的结果，说明这个除法运算没有确定的商。第二种理解——等分除即把被除数看成被平均分的总量，把除数看作是平均分的份数，除法的结果理解为每份分的的数量。因此。在这种情况下，如果除数为0，就意味着“份”不存在，也就是“分”的活动不存在。这与除数为1的情况不同，如果除数为1，可以理解为是“分”的特例，即分为1份。那么，什么情况下才会出现“分”的活动不存在呢？就是总量不存在，也就是在总量为零的情况下。第三种理解——包含除即把被除数理解为总量，把除数理解为平均分后每份的数量。除法的结果就是总量包含的份数。如果除数为0，说明每一份的数量为0，也就是“份”是不存在的。由此，与第二种理解类似，总量也就是为0，自然“分”的活动也就不存在了。但是这种理解在数学中的说服力不强。第四种理解——乘法逆运算第四种理解——乘法逆运算00abab应当来源于。按照这样的理解，采用“归谬”的方法做一个简单的推理，看看如果“0”做除数的时候会发生什么。不放用字母a表示被除数，字母b表示a除以0的商，即：0ab根据乘法与除法的互逆关系，这个等式等价于下面的乘法关系：0ab第四种理解——乘法逆运算由于零乘以任何数的结果都是零，所以可以得到00b上面的等式因此就成为了0a那么在此基础上，无论除法的商取什么样的数值，这个等式都是成立的。这就表明如果一个除法运算中除数为0，那么这个除法运算的结果就是不确定的，这在数学的推理中是不允许的。数学中对于运算通常有两个要求，第一是运算结果要存在，第二是运算结果要唯b数学中对于运算通常有两个要求：第一是运算结果要存在。第二是运算结果要唯一确定。这主要是由于下面形式的数学推理的需要：如果111222121212,,,,abcabcaabbcc如果且那么这个推理形式实际上就是“同样的原因应当有同样的结果。”其成立的前提就是运算结果的存在性和确定性。所以“0”不能做除数，这一规定最主要的原因是为了保证运算结果的唯一确定性。