2019秋九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.8 图形的位似课件 （新版）北师大版

第四章图形的相似初中数学（北师大版）九年级上册知识点一位似变换的定义及性质定义一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P‘所在的直线都经过同一点O,且有OP’=k·OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形有关概念在位似多边形的定义中,点O叫做位似中心,k叫做这两个位似多边形的相似比基本图形由于位似中心的位置不同,位似多边形的基本形式有三种(如图),即点O在两个多边形的同侧,点O在两个多边形之间,点O在两个多边形的内部 性质(1)位似图形的任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形的对应点的连线所在的直线交于同一点;(3)位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等;(4)位似图形是相似图形,所以它具有相似图形的一切性质温馨提示(1)位似图形中任意两组对应点的连线所在直线的交点就是位似中心;(2)一组对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似例1在图4-8-1中,哪些图形是位似多边形?哪些图形不是位似多边形?如果是位似多边形,请指出其位似中心. 图4-8-1解析图4-8-1(1)、(2)和(4)都是位似多边形,位似中心分别为点A,点O,点O.图4-8-1(3)、(5)和(6)不是位似多边形.点拨判断两个多边形是不是位似多边形,一要看它们是不是相似,二要看它们对应点的连线所在的直线是不是交于同一点.知识点二利用位似变换作图步骤(1)确定位似中心;(2)分别过位似中心和能代表原图的各关键点作直线;(3)根据相似比,找出所作位似图形的对应点;(4)按原图连接各点,得到放大或缩小的图形温馨提示(1)符合条件的位似图形往往不唯一;(2)作出的位似图形一般有两种情况,一是各对应点在位似中心的同侧,二是各对应点在位似中心的两侧;(3)作位似图形时,要注意相似比的顺序性例2画一个三角形,使它与已知△ABC位似(如图4-8-2),且原三角形与所画三角形的相似比为3∶1. 图4-8-2解析作法一:(平行截取法)在AB上取一点D,使AD= AB,过D作DE∥BC,交AC于点E,则△ADE即为所求,如图4-8-3(1).作法二:(反向延长法)延长CA到C',使AC'= AC,延长BA到B',使AB'= AB,连接B'C',则△AB'C'即为所求,如图4-8-3(2).作法三:(位似图形法)任取一点O,连接OA、OB、OC.取OA、OB、OC的三等分点A'、B'、C'(靠近O的点),连接A'B',B'C'、C'A',则△A'B'C'即为所求,如图4-8-3(3).131313图4-8-3点拨本题作图方法很多,注意根据题目的要求选择画法.知识点三平面直角坐标系中的位似变换在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比为|k|.详解重点(1)得到新坐标时横坐标和纵坐标一定要都乘k,缺一不可.(2)根据新的坐标描点、连线即可.(3)k值的情况:若两个图形在坐标原点的同侧,则相似比为k;若两个图形在坐标原点的异侧,则相似比为-k.例3如图4-8-4,已知O是坐标原点,△OBC中,点B(3,-1),点C(2,1).请你以点O为位似中心画△OB‘C',使其满足:①△OB'C'与△OBC位似,且相似比为2;②点O在△OB'C'与△OBC之间.图4-8-4分析根据△OB'C'与△OBC的相似比为2,可知|k|=2;根据点O在△OB'C'与△OBC之间,可知k=-2,把点B,C的横、纵坐标均乘-2,得到点B'、C'的坐标,由此即可画出△OB'C'.解析设点B'(x1,y1),C'(x2,y2).∵B(3,-1),C(2,1),且△OB'C'与△OBC的相似比为2,点O在△OB'C'与△OBC之间,∴x1=3×(-2)=-6,y1=-1×(-2)=2,x2=2×(-2)=-4,y2=1×(-2)=-2.∴B'(-6,2),C'(-4,-2).在平面直角坐标系中描出点B'、C',依次连接点O、B'、C',则△OB'C'即为所求,如图4-8-5所示.图4-8-5题型一位似图形性质的应用例1如图4-8-6,在水平桌面上有两个“E”,当P1、P2、O这三点在一条直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.图4-8-6(1)在图4-8-6中,b1,b2,l1,l2满足怎样的关系式?(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测试距离l1=8m,要使测得的视力相同,则②号“E”的测试距离l2应为多少?解析(1) = .理由如下:因为P1D1∥P2D2,所以△P1D1O∽△P2D2O.所以 = ,即 = .(2)由(1)知 = ,将b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8m代入得 = ,所以l2=5m.故②号“E”的测试距离l2=5m.点拨对于实际问题,我们要善于灵活地构建数学模型,再运用所学的数学知识进行解答.12bb12ll1122PDPD12DODO12bb12ll12bb12ll3.2228l题型二根据位似图形的定义作图例2将图4-8-7中的△ABC分别做下列运动,画出相应的图形,指出三个顶点的坐标所发生的变化.(1)向上平移4个单位;(2)关于y轴对称;(3)以A点为位似中心,放大到原来的两倍. 图4-8-7解析(1)平移后得到△A1B1C1(如图4-8-8),横坐标不变,纵坐标都加4.(2)△A2B2C2(如图4-8-8)为△ABC关于y轴对称的图形,纵坐标不变,横坐标为对应点横坐标的相反数.(3)放大后得到△AB2C3(如图4-8-8),A的坐标不变,B2在B的基础上纵坐标不变,横坐标加AB的长,C3在C的基础上横坐标加AB的长,纵坐标加BC的长. 图4-8-8点拨作图时要注意位似中心的位置,要区分对应点在位似中心的同侧和在位似中心的异侧两种情况.利用相似求山高素养解读数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理.在解决相似三角形的问题中,复杂图形可转化为基本图形,基本图形是解题的基本线索,因此解决复杂图形的法宝是把复杂图形转化为基本图形,这样可把复杂问题转化为基本问题.典例剖析例刘徽(生于公元250年左右)是中国数字史上伟大的数学家,在世界数学史上,也占着重要的地位,他的杰作《九章算术法》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产.(1)其中一卷书研究的对象全是有关高与距离的测量,所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测杆与横棒,所有问题都是利用两次或多次测量所得的数据,来推算可望而不可即的目标的高、深、广、远,此书收集于明成祖时编修的永乐大典中,现保存在英国剑桥大学图书馆,该卷书是;(2)在(1)中提到刘徽的杰作中,记载的第一个问题的大意是:在如图4-8-9所示的示意图中,要测量海岛上一座山峰的高度AH,立两根高3丈的标杆BC和DE,两杆之间的距离BD=1000步,点D、B、H成一线,从B处退行123步到点F处,人的眼睛贴着地面观察点A,点A、C、F也成一线,从D处退行127步到点G处,人的眼睛贴着地面观察点A,点A、E、G也成一线,求AH有多少丈,HB有多少步.(这里1步=6尺,1丈=10尺) 图4-8-9解析(1)《海岛算经》.(2)由题意,得AH⊥HG,CB⊥HG,∴∠AHF=90°,∠CBF=90°,∴∠AHF=∠CBF,∵∠AFB=∠CFB,∴△CBF∽△AHF,∴ = ,同理可得 = ,∵BF=123,BD=1000,DG=127,∴HF=HB+123,HG=HB+1000+127=HB+1127,∴ = , = ,解得HB=30750,HA=753.BCAHBFHFDEHADGHG3HA123123HB3HA1271127HB答:AH有753丈,HB有30750步.素养呈现本题主要考查了相似三角形的性质,解答这道题的关键是将实际问题转化为数学问题,即把实际问题抽象到相似三角形中,首先判定△FCB∽△FAH,△EDG∽△AHG,然后根据相似三角形的性质可得 = , = ,从而求解.BCAHBFHFDEHADGHG知识点一位似变换的定义及性质1.(2014山东东营中考)下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确命题的序号是 ()A.②③B.①②C.③④D.②③④答案A①相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,故①错误;②位似图形一定有位似中心,故②正确;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形,故③正确;④位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比,故④错误.正确的为②③.故选A.2.如图4-8-1所示的3组图形中,是位似图形的有 () 图4-8-1A.0个B.1个C.2个D.3个答案C3组图形中是位似图形的为第1组和第3组图形,第2组图形中两个正方形的对应点的连线所在的直线不交于一点,故不是位似图形,故选C.3.如图4-8-2所示,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,已知四边形E-FGH的面积是3,则四边形ABCD的面积是 () 图4-8-2A.6B.9C.12D.18答案C∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴四边形EFGH与四边形ABCD是位似图形,且相似比为1∶2,∴四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为1∶4,∵四边形EFGH的面积是3,∴四边形ABCD的面积是12.故选C.4.如图4-8-3,O是△ABC内任意一点,D、E、F分别为AO、BO、CO上的点,且△ABC与△DEF是位似三角形,位似中心为O.若AD= AO,则△ABC与△DEF的相似比为. 图4-8-313答案 32解析∵△ABC与△DEF是位似三角形,位似中心为O,AD= AO,∴ = ,则△ABC与△DEF的相似比为 .13OAOD32325.如图4-8-4,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点A、B、A'、B'、O共线,点O为位似中心.(1)AC与A'C'平行吗?为什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的长. 图4-8-4解析(1)AC∥A'C'.理由:∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,∴△ABC∽△A'B'C',∴∠A=∠C'A'B',∴AC∥A'C'.(2)∵△ABC∽△A'B'C',∴ = .∵AB=2A'B',∴ = .又∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,O为位似中心,∴ = = .∵OC'=5,∴OC=10,∴CC'=OC-OC'=10-5=5.''ABAB''ACAC''ACAC21'OCOC''ACAC21知识点二利用位似变换作图6.如图4-8-5,已知五边形ABCDE,试把它缩小为原来的 ,你能用几种方法?尽可能地用不同方法画图. 图4-8-512解析解法一:在五边形ABCDE的外部任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE;分别取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图. 解法二:在五边形ABCDE的外部任取一点O,作直线OA,OB,OC,OD,OE;在O的另一侧取点A',B',C',D',E',使OA'= OA,OB'= OB,OC'= OC,OD'= 121212OD,OE'= OE,顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图. 解法三:在五边形的内部任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE;分别取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.1212 解法四:在AB边上取一点O,连接CO,DO,EO;取OA