2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念课件 新人教A版必修1

1.2函数及其表示1.2.1函数的概念1.能够用集合与对应的语言给出函数的定义;知道构成函数的要素,清楚函数的定义中“任意一个数x”和“唯一确定的数f(x)”的含义;明确符号“f(x)”表示的意义.2.会判断两个函数是否相等;会求简单函数的函数值(或值域)和定义域.3.能正确使用区间表示数集.1.函数的概念设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y=f(x)的值域,则值域是集合B的子集.名师点拨1.“A,B是非空的数集”,一方面强调了A,B只能是数集,即A,B中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说,定义域为空集的函数是不存在的.2.函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数.3.理解函数的概念要注意,函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集.【做一做1】下列对应关系是从A到B的函数的是()A.A∈R,B∈R,x2+y2=1B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:C.A=R,B=R,f:x→y=1𝑥-2D.A=Z,B=Z,f:x→y=2𝑥-1解析:对于A项,x2+y2=1可化为y=±1-𝑥2,显然对任意x∈A,y值不唯一,故不符合;对于B项,符合函数的定义;对于C项,2∈A,但在集合B中找不到相对应的数,故不符合;对于D项,-1∈A,但在集合B中找不到相对应的数,故不符合.答案:B2.常见函数的定义域和值域函数函数解析式定义域值域正比例函数y=kx(k≠0)RR反比例函数y=𝑘𝑥(𝑘≠0){x|x≠0}{y|y≠0}一次函数y=kx+b(k≠0)RR二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)Ra0𝑦𝑦≥4𝑎𝑐-𝑏24𝑎a0𝑦𝑦≤4𝑎𝑐-𝑏24𝑎归纳总结有时给出的函数没有明确说明其定义域,这时,它的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围.例如函数y=𝑥的定义域为[0,+∞),函数y=1𝑥+1的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).【做一做2-1】已知函数y=f(x)的定义域为P,值域为Q,对于m∈P,与m对应的函数值为n,则有()A.n∈PB.m=nC.n∈P∩QD.n唯一答案:D【做一做2-2】函数y=5-2x的定义域是()A.RB.QC.ND.⌀答案:A【做一做2-3】函数y=2x2-x的值域是.解析:函数y=2x2-x是二次函数,其二次项系数大于零,则值域是𝑦𝑦≥-18.答案:𝑦𝑦≥-183.区间与无穷大(1)区间的概念.设a,b是两个实数,且ab.这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|axb}开区间(a,b){x|a≤xb}半闭半开区间[a,b){x|ax≤b}半开半闭区间(a,b]知识拓展1.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;2.区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;3.用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心圆圈的区别;4.由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.(2)无穷大.“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,满足x≥a,xa,x≤a,xa的实数x的集合可用区间表示,如下表.定义R{x|x≥a}{x|xa}{x|x≤a}{x|xa}符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)【做一做3-1】集合{x|x≥1}用区间表示为()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:D【做一做3-2】区间[5,8)表示的集合是()A.{x|x≤5,或x8}B.{x|5x≤8}C.{x|5≤x8}D.{x|5≤x≤8}答案:C名师点拨1.∞是一个符号,而不是一个数;2.当以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.4.函数相等一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中值域是由定义域和对应关系决定的.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.【做一做4】在下列函数中,与函数y=2x2表示同一函数的是()A.y=2xB.y=2t2C.y=4𝑥2D.𝑦=2𝑥3𝑥解析:A选项,y=2x与函数y=2x2的对应关系不同,所以它们不表示同一函数;B选项,y=2t2,其定义域、对应关系与函数y=2x2均相同,所以它们表示同一函数;C选项,y=4𝑥2与函数y=2x2的对应关系不同,所以它们不表示同一函数;D选项,y=2𝑥3𝑥的定义域为{x|x≠0}与函数y=2x2的定义域不同,所以它们不表示同一函数.答案:B函数符号f(x)的意义剖析(1)符号y=f(x)表示因变量y是自变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积.(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)相等;当m是常数时,f(m)表示当自变量x=m时对应的函数值,是一个常量.(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x2-x+5,当x=2时,看作对“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,最后加上5;当x为某一代数式(或某一个函数)时,则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f(g(x))=[g(x)]2-g(x)+5.题型一题型二题型三题型四题型五函数关系的判断【例1】下列式子能否确定y是x的函数?(1)𝑥-1+𝑦-1=1;(2)y=𝑥-2+1-𝑥.分析:先将已知式子进行等价转换,化为用x表示y的形式,再利用函数的定义进行判断.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)由𝑥-1+𝑦-1=1,得y=(1−𝑥-1)2+1.所以当x在{x|x≥1}中任取一个值时,都有唯一的y值与之对应,故y是x的函数.(2)因为不等式组𝑥-2≥0,1-𝑥≥0的解集是⌀,即x取值的集合是⌀,所以y不是x的函数.反思1.判断一个对应关系f:A→B是不是函数,要从以下三个方面去判断:(1)A,B必须是非空数集;(2)A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应;(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.2.函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多”.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A.0B.1C.2D.3题型一题型二题型三题型四题型五解析:①中,因为在集合M中当1x≤2时,在N中无元素与之对应,所以①不是;②中,对于集合M中的任意一个数x,在N中都有唯一的数与之对应,所以②是;③中,x=2对应元素y=3∉N,所以③不是;④中,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,所以④不是.因此只有②是,故选B.答案:B题型一题型二题型三题型四题型五求函数的定义域【例2】求函数y=-2𝑥+1−1-𝑥的定义域.分析:分析所给函数表达式→列不等式组→求x的范围,得定义域解:要使函数有意义,自变量x的取值需满足𝑥+1≠0,1-𝑥≥0,解得x≤1,且x≠-1,即函数的定义域是{x|x≤1,且x≠-1}.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.如果f(x)是整式,那么函数f(x)的定义域是实数集R.2.如果f(x)是分式,那么函数f(x)的定义域是使分母不等于零的实数的集合.3.如果f(x)是二次根式,那么函数f(x)的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.4.如果f(x)是由几个部分构成的,那么函数f(x)的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).5.对于由实际背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】求下列函数的定义域:(1)y=31-1-𝑥;(2)y=(𝑥+1)0|𝑥|-𝑥.解:(1)要使函数有意义,需1-𝑥≥0,1-1-𝑥≠0,解得𝑥≤1,𝑥≠0,即x≤1,且x≠0,故函数y=31-1-𝑥的定义域为(-∞,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,需𝑥+1≠0,|𝑥|-𝑥≠0,得𝑥≠-1,|𝑥|≠𝑥,因此x0,且x≠-1.故原函数的定义域为{x|x0,且x≠-1}.题型一题型二题型三题型四题型五求函数值(值域)【例3】已知f(x)=11+𝑥(𝑥∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f(g(3))的值;(3)求g(x)的值域.分析:(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2,计算得f(2)与g(2)的值;(2)先求g(3)的值m,再求f(m)的值;(3)g(x)的所有函数值构成的集合即为g(x)的值域.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)∵f(x)=11+𝑥,𝑔(𝑥)=𝑥2+2,∴f(2)=11+2=13,𝑔(2)=22+2=6.(2)∵g(3)=32+2=11,∴f(g(3))=f(11)=11+11=112.(3)∵x∈R,∴x2+2≥2.∴g(x)的值域为[2,+∞).反思已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值;已知g(x)的解析式时,先求g(a)的值m,再求f(m)的值即得f(g(a))的值,即遵循由里往外的原则求f(g(a)).题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】(1)已知f(x)=2x+1,g(x)=x2+1,若f(2a+1)=7,则f(g(a))=;(2)函数y=x+1,x∈{1,2,3,4}的值域为.解析:(1)∵f(x)=2x+1,∴f(2a+1)=2(2a+1)+1=4a+3=7,∴a=1.∴g(a)=a2+1=2,∴f(g(a))=f(2)=2×2+1=5.(2)∵x∈{1,2,3,4},分别代入y=x+1求值,可得所求函数值域为{2,3,4,5}.答案:(1)5(2){2,3,4,5}题型一题型二题型三题型四题型五(1)f(x)=x+2,g(x)=𝑥2-4𝑥-2;判断函数相等【例4】判断下列各组函数是不是相等函数:(2)f(x)=(x-1)2,g(x)=x-1;(3)f(x)=x2+x+1,g(t)=t2+t+1.分析:先求出函数定义域,再根据定义域和对应关系来确定.解:(1)f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠2}.由于定义域不同,故f(x)与g(x)不是相等函数.(2)f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,即定义域相同.由于f(x)与g(x)的表达式不相同,即对应关系不一致,故f(x)与g(x)不是相等函数.(3)两个函数的自变量所用字母不同,但其定义域相同,且对应关系一致,故两个函数相等.题型一题型二题型三题型四题型五反思判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是:求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不相等;如果定义域相同,那么化简函数的解析式;如果化简后的函数解析式相同,那么它们相等,否则它们不相等.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=𝑥2,𝑔(𝑥)=x33;(2)f(x)=(x)2,𝑔(𝑥)=x2;(3)y=x0,y=1(x≠0);(4)y=x2+xx,𝑦=�