2019-2020学年高中数学 第五章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）单

-1-第2课时单调性、最大值与最小值首页课标阐释思维脉络1.理解正弦函数与余弦函数的单调性,会求函数的单调区间.2.能够利用三角函数单调性比较三角函数值的大小.3.能够结合三角函数的单调性求函数的最值和值域.课前篇自主预习一二三一、正弦函数与余弦函数的单调性1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?类似地,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?怎样整合这些区间?提示:正弦函数在每一个闭区间-π2+2𝑘π,π2+2𝑘π(k∈Z)上都是增函数;在每一个闭区间π2+2𝑘π,3π2+2𝑘π(k∈Z)上都是减函数;余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都是增函数;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都是减函数.课前篇自主预习一二三2.填空(2)余弦函数y=cosx在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都单调递减.(1)正弦函数y=sinx在每一个闭区间-π2+2𝑘π,π2+2𝑘π(k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间π2+2𝑘π,3π2+2𝑘π(k∈Z)上都单调递减;课前篇自主预习一二三3.做一做(1)函数y=sin2x-1的单调递增区间是;(2)函数y=3-cos2x的单调递增区间是.解析:(1)令-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z,故函数的单调递增区间是-π4+𝑘π,π4+𝑘π(k∈Z).(2)函数y=3-cos2x的单调递增区间即为函数y=cos2x的单调递减区间,令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z,故函数的递增区间是kπ,π2+kπ(k∈Z).答案:(1)-π4+𝑘π,π4+𝑘π(k∈Z)(2)𝑘π,π2+𝑘π(k∈Z)课前篇自主预习一二三二、正弦函数与余弦函数的最值和值域1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sinx取得最大值和最小值?余弦函数呢?提示:正、余弦函数存在最大值1和最小值-1;正弦函数当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时取最大值1,当且仅当x=2kπ+3π2(k∈Z)时取最小值-1;余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1,当且仅当x=π+2kπ(k∈Z)时取最小值-1.课前篇自主预习一二三2.填空(1)正弦函数y=sinx当且仅当x=2kπ+π2(𝑘∈𝐙)时取最大值1;当且仅当x=2kπ+3π2(𝑘∈𝐙)时取最小值-1;(2)余弦函数y=cosx当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1.(3)正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的值域都是[-1,1].3.做一做(1)函数y=2-3sinx的最小值是;(2)当函数y=cos取得最大值时,x的值等于.解析:(1)因为y=sinx的最大值为1,所以y=2-3sinx的最小值是-1.(2)当=2kπ,k∈Z,即x=4kπ,k∈Z时,函数y=cos取得最大值.答案:(1)-1(2)4kπ(k∈Z)𝑥2𝑥2𝑥2课前篇自主预习一二三三、正弦函数与余弦函数的对称性1.观察正弦曲线与余弦曲线,正弦曲线除了关于原点对称外,是否还关于其他的点和直线对称?余弦曲线除了关于y轴对称外,是否还关于其他的点和直线对称?提示:正弦曲线关于点(kπ,0)(k∈Z)和直线x=kπ+π2(k∈Z)对称;余弦曲线关于点𝑘π+π2,0(k∈Z)和直线x=kπ(k∈Z)对称.课前篇自主预习一二三2.填空(1)(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴都经过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即函数y=sinx(y=cosx)的最值点;正弦曲线(余弦曲线)的对称中心都经过正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点,即函数y=sinx(y=cosx)的零点.曲线对称轴方程对称中心坐标正弦曲线x=kπ+𝜋2(𝑘∈𝐙)(kπ,0)(k∈Z)余弦曲线x=kπ(k∈Z)𝑘π+π2,0(k∈Z)课前篇自主预习一二三3.做一做(1)函数y=sinx+3的图象的一条对称轴方程为()A.x=-πB.x=0(2)函数y=2cosx-1的图象的一个对称中心为()C.x=π4D.x=-5π2A.(-π,-3)B.(0,0)C.π2,-1D.π2,0解析:(1)函数y=sinx+3在x=-5π2处取得最值,故x=-5π2是图象的对称轴.(2)当x=π2时,y=2cosx-1=-1,故对称中心是π2,-1.答案:(1)D(2)C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求三角函数的单调区间例1求下列函数的单调递减区间:分析:(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.(1)y=12cos2𝑥+π3;(2)y=2sinπ4-𝑥.解:(1)令z=2x+π3,而函数y=cosz的单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).∴当原函数单调递减时,可得2kπ≤2x+π3≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z).∴原函数的单调递减区间是𝑘π-π6,𝑘π+π3(k∈Z).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(2)y=2sinπ4-𝑥=-2sin𝑥-π4.令z=x-π4,则y=-2sinz,求y=-2sinz的单调递减区间,即求sinz的单调递增区间.∴-π2+2kπ≤z≤π2+2kπ,k∈Z.即-π2+2kπ≤x-π4≤π2+2kπ,k∈Z.∴-π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ,k∈Z.∴函数y=2sinπ4-𝑥的单调递减区间是-π4+2𝑘π,3π4+2𝑘π(k∈Z).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧:(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asinz的单调区间求出原函数的单调区间.若ω0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1求函数y=2cosπ4-𝑥的单调递增区间.解:y=2cosπ4-𝑥=2cos𝑥-π4.由2kπ+π≤x-π4≤2kπ+2π,k∈Z,得2kπ+5π4≤x≤2kπ+9π4,k∈Z.即该函数的单调递增区间是2𝑘π+5π4,2𝑘π+9π4(k∈Z).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练单调性在三角函数中的应用角度1利用单调性比较三角函数值的大小例2比较下列各组数的大小:(1)sin220°与sin230°;分析:观察各角,利用诱导公式,先将异名三角函数化为同名三角函数,非同一单调区间上的角化为统一单调区间上的角,再根据单调性比较大小.(2)cos15π8与cos14π9;(3)sin-20π7与cos-10π3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)因为函数y=sinx在[90°,270°]上单调递减,且90°220°230°270°,所以sin220°sin230°.(2)cos15π8=cos2π-π8=cosπ8,cos14π9=cos2π-4π9=cos4π9.因为函数y=cosx在[0,π]上单调递减,且0π84π9π,所以cosπ8cos4π9,故cos15π8cos14π9.(3)sin-20π7=sin8π7=-sinπ7,cos-10π3=cos2π3=-cosπ3=-sinπ6.因为函数y=sinx在-π2,π2上单调递增,而-π2π7π6π2,所以sinπ7sinπ6,所以-sinπ7-sinπ6.故sin-20π7cos-10π3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2已知三角函数的单调情况求参问题例3若函数f(x)=sinωx(ω0)在区间π3,π2上单调递减,则ω的取值范围是()A.0≤𝜔≤23B.0≤𝜔≤32C.23≤𝜔≤3D.32≤𝜔≤3课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:根据正弦函数的单调递减区间,确定函数f(x)的单调递减区间,根据函数f(x)=sinωx(ω0)在区间π3,π2上单调递减,建立不等式,即可求ω的取值范围.令π2+2kπ≤ωx≤3π2+2kπ,k∈Z,则π2𝜔+2𝑘π𝜔≤x≤3π2𝜔+2𝑘π𝜔,k∈Z.∵函数f(x)=sinωx(ω0)在区间π3,π2上单调递减,∴π2𝜔≤π3且3π2𝜔≥π2,∴32≤𝜔≤3.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;(2)不同名的函数化为同名函数;(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2比较大小:(1)cos-7π8与cos7π6;(2)sin74与cos53.解:(1)cos-7π8=cos7π8=cosπ-π8=-cosπ8,而cos7π6=-cosπ6,∵0π8π6π2,∴cosπ8cosπ6.∴-cosπ8-cosπ6,∴cos-7π8cos7π6.(2)∵cos53=sinπ2+53,π274π2+533π2,又y=sinx在π2,3π2上是减函数,∴sin74sinπ2+53=cos53,即sin74cos53.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数的值域(或最值)问题角度1利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值)例4求下列函数的值域:(2)y=|sinx|+sinx.分析:利用正弦函数的有界性和单调性来求解.(1)由x的取值范围确定2x+的取值范围,再由正弦函数的单调性求解;(2)先去绝对值符号,再求解.(1)y=2sin2x+π3,x∈-π6,π2;𝜋3课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)∵x∈-π6,π2,∴2x+π3∈0,4π3.令u=2x+π3,又y=sinu在0,π2上单调递增,∴0≤sin2x+π3≤1,∴0≤2sin2x+π3≤2;y=sinu在π2,4π3上单调递减,∴-32≤sin2x+π3≤1,∴-3≤2sin2x+π3≤2,∴函数的值域为[-3,2].(2)∵y=|sinx|+sinx=2sin𝑥,sin𝑥≥0,0,sin𝑥0,又sinx≥0时,0≤2sinx≤2,∴函数y=|sinx|+sinx的值域为[0,2].课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2化为f(sinx)或g(cosx)型的函数求值域(或最值)例5求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sinx-2;(2)y=-sin2x+3sinx+54;(3)y=cos2x-sinx,x∈-π4,π4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.因为-1≤sinx≤1,所以当sinx=-1,即x=-π2+2kπ,k∈Z时,函数取得最小值,ymin=-(-1-1)2=-4;当sinx=1,即x=π2+2kπ,k∈Z时,函数取得最大值,ymax=-(1-1)2=0.(2)y=-sin2x+3sinx+54=-sinx-322+2.因为-1≤sinx≤1,所以当sinx=32,即x=2kπ+π3或x=2kπ+2π3(k∈Z)时,函数取得最大值,ymax=2;当sinx=-