2019-2020学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.2 用二分法求方程的近似解课件

-1-4.5.2用二分法求方程的近似解首页核心素养培养目标核心素养形成脉络1.理解二分法的操作步骤与思想及理论依据.2.能够借助计算器用二分法求方程的近似解或求函数零点的近似值.课前篇自主预习一二一、二分法的概念1.在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在800元~1200元之间的一款手机,选手开始报价:选手:1000.主持人:低了.选手:1100.主持人:高了.选手:1050.主持人:祝贺你,答对了.(1)主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内?提示:(1000,1200].(2)选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系?提示:报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值.课前篇自主预习一二2.填空对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3.判断正误函数f(x)=|x|可以用二分法求其零点.()答案:×课前篇自主预习一二4.做一做下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析:利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B中,不满足f(a)·f(b)0,不能用二分法求函数零点,由于选项A,C,D中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求函数零点.答案:B课前篇自主预习一二二、用二分法求f(x)零点近似值的步骤1.在上述猜物品价格的实例中,竞猜的过程是否有规律可循?提示:竞猜过程归结为:设原价为x,则(1)给定价格区间[a,b];(2)求区间(a,b)的中点c;(3)若cx,则在区间(a,c)内竞猜;若cx,则在区间(c,b)内竞猜;(4)依次类推,直到猜出原价x.课前篇自主预习2.填空给定精确度ε,用二分法求f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)0;(2)求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间;若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;若f(a)f(c)0(此时零点x0∈(a,c)),则令b=c;若f(c)f(b)0(此时零点x0∈(c,b)),则令a=c.(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复(2)~(4).一二3.判断正误二分法只可用来求方程的近似解.()答案:×课前篇自主预习一二4.做一做若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:f(2)≈-0.3691f(2.5)≈0.3340f(2.25)≈-0.0119f(2.375)≈0.1624f(2.3125)≈0.0756f(2.28125)≈0.0319则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)为()A.2.1B.2.2C.2.3D.2.4解析:由参考数据可知f(2.25)·f(2.3125)0,且|2.3125-2.25|=0.06250.1,所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=log3x+x-3零点的近似值,也即为方程x-3+log3x=0的近似根.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练二分法的概念例1下列图象表示的函数中,能使用二分法求零点的是()分析:利用二分法求函数零点的条件是:函数在零点的左右两侧的函数值符号相反,即穿过x轴,分析选项可得答案.解析:能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧的函数值符号相反,由图象可得,A、B、D不能满足此条件.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟(1)二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.(2)只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练1若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实数m的取值范围是.解析:由题意知,Δ=9-8m0,即m98.答案:m98课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练用二分法求函数的零点例2求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确度0.1).分析:先确定f(-2)与f(-3)的符号,再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.解:由于f(-2)=-10,f(-3)=40,故取区间[-3,-2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数值(近似值)(-3,-2)-2.51.25(-2.5,-2)-2.250.0625(-2.25,-2)-2.125-0.4844(-2.25,-2.125)-2.1875-0.2148(-2.25,-2.1875)-2.21875-0.0771由于|-2.25-(-2.1875)|=0.06250.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则及求解流程图1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则:(1)依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽可能的小,区间的端点尽量为整数).(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度),才终止计算,得到函数零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练2.利用二分法求函数近似零点的流程图:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练延伸探究如本例中的精确度改为0.2呢?解:由【例2】的表格可知,区间(-2.25,-2)的长度为|-2-(-2.25)|=0.250.2;而区间(-2.25,-2.125)的长度|-2.125-(-2.25)|=0.1250.2,所以这个区间的两个端点值就可以作为其近似值,所以其近似值可取-2.125.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练求方程的近似解例3求方程lgx=2-x的近似解(精确度0.1).分析:在同一平面直角坐标系中,画出y=lgx和y=2-x的图象,确定方程的解所在的大致区间,再用二分法求解.解:在同一平面直角坐标系中,作出y=lgx,y=2-x的图象如图所示,可以发现方程lgx=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.若f(x)=lgx+x-2,则f(x)的零点为x0.用计算器计算,得f(1)0,f(2)0⇒x0∈(1,2);f(1.5)0,f(2)0⇒x0∈(1.5,2);f(1.75)0,f(2)0⇒x0∈(1.75,2);f(1.75)0,f(1.875)0⇒x0∈(1.75,1.875);f(1.75)0,f(1.8125)0⇒x0∈(1.75,1.8125).∵|1.8125-1.75|=0.06250.1,∴方程的近似解可取为1.8125.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟用二分法求方程的近似解需明确的两点1.根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.2.对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练2用二分法求2x+x=4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2).参考数据:x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-40,f(2)=22+2-40.∵|1.375-1.5|=0.1250.2,∴2x+x=4在(1,2)内的近似解可取为1.375.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x1=1.5f(x1)=0.330(1,1.5)x2=1.25f(x2)=-0.370(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)=-0.0350(1.375,1.5)课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练转化与化归思想在二分法中的应用典例求23的近似值(精确度0.01).【审题视角】设x=23→23就是方程x3-2=0的根→23就是函数y=x3-2的零点以下用二分法求其零点的近似值.由于f(1)=-10,f(2)=60,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:解:设x=23,则x3-2=0.令f(x)=x3-2,则函数f(x)零点的近似值就是23的近似值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练区间中点中点函数值(1,2)1.5f(1.5)=1.375(1,1.5)1.25f(1.25)≈-0.0469(1.25,1.5)1.375f(1.375)≈0.5996(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)≈0.2610(1.25,1.3125)1.28125f(1.28125)≈0.1033(1.25,1.28125)1.265625f(1.265625)≈0.0273(1.25,1.265625)1.2578125f(1.2578125)≈-0.0100(1.2578125,1.265625)由于区间(1.2578125,1.265625)的长度为1.265625-1.2578125=0.00781250.01,所以23的近似值可以取1.265625.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练方法点睛1.求根式的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,再转化为函数的零点,通过二分法求解.2.二分法思想的实质是一种逼近思想,所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练求33的近似值(精确度0.1).解:设x=33,则x3-3=0.令f(x)=x3-3,则函数f(x)零点的近似值就是33的近似值.由于f(1)=-20,f(2)=50,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,见表如下:次数左端点左端点函数值(近似值)右端点右端点函数值第1次1-225第2次1-21.50.375第3次1.25-1.04691.50.375第4次1.375-0.40041.50.375第5次1.4375-0.02951.50.375因为区间(1.4375,1.5)的长度为0.06250.1,所以33的近似值可以取1.4375.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3解析:由题图知函数f(x)与x轴有4个公共点,因此零点个数为4,从左往右数第4个公共点横坐标的左右两侧的函数值同号,因此不能用二分法求该零点,而其余3个均可使用二分法来求.故选D.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练2.用二分法求函数f(x)=-x3-3x+5的近似零点时的初始区间是()A.(1,3)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-3,-2)解析:本题考查对用二分法求函数零点近似值的理解及初始区间的选择.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,∴f(1)f(2)0.又函数f(x)=-x3-3x+5的定义域为R,故f