2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.2 对数函数及其性质（第2课时）对

第2课时对数函数性质的应用1.理解对数函数的单调性,并能利用单调性比较大小、求最值或值域、解不等式.2.初步掌握对数函数在生活中的应用.3.知道对数函数和指数函数互为反函数.1.对数函数的图象和性质对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象和性质如下表所示:底数a10a1图象性质定义域:(0,+∞)值域:(-∞,+∞)当x=1时,y=0,即图象恒过定点(1,0)当x1时,y0;当0x1时,y0当x1时,y0;当0x1时,y0在区间(0,+∞)内是增函数在区间(0,+∞)内是减函数【做一做1-1】已知函数f(x)=logax在区间(0,+∞)内是减函数,则a的取值范围是()A.(0,+∞)B.(-∞,1)C.(0,1)D.(1,+∞)答案:C【做一做1-2】函数f(x)=log2x在区间[1,8]上的值域是()A.RB.[0,+∞)C.(-∞,3]D.[0,3]解析:函数f(x)=log2x在区间[1,8]上是增函数,故f(1)≤f(x)≤f(8),即0≤f(x)≤3.答案:D2.对数函数的反函数对数函数y=logax(a0,且a≠1)的反函数是y=ax(a0,且a≠1).【做一做2】函数y=3x的反函数是()A.y=x3B.y=logx3C.y=log3xD.y=lgx答案:C1.函数y=logax(a0,且a≠1)的图象与y=log1𝑎𝑥(𝑎0,且a≠1)的图象之间的关系剖析函数y=log2x与y=log12𝑥的图象、函数y=log3x与y=log13𝑥的图象如图所示,结合图象可知函数y=logax(a0,且a≠1)的图象与y=log1𝑎𝑥(𝑎0,且a≠1)的图象关于x轴对称.其实y=log1𝑎𝑥=log𝑎𝑥log𝑎1𝑎=log𝑎𝑥-1=−log𝑎𝑥,因为y=logax与y=-logax的图象关于x轴对称,所以函数y=logax与y=log1𝑎𝑥的图象也关于x轴对称.2.底数对对数函数图象的影响剖析在同一平面直角坐标系中画出以下各组函数的图象,观察并写出你的发现.(1)y=log2x,y=log3x,y=log4x,y=lgx,如图①所示.(2)y=log12𝑥,𝑦=log13𝑥,𝑦=log14𝑥,𝑦=log110𝑥,如图②所示.图①图②观察结果:对于第一组:y=log2x,y=log3x,y=log4x,y=lgx,其图象的共同特征是上升的;对于第二组,其图象的共同特征是下降的.结论:①当a1时,从左往右看图象是上升的,自变量x越大,函数值y就越大;当x∈(0,1)时,y0,当x∈(1,+∞)时,y0;自变量取同一值时,底数a越大,图象就越接近x轴,即当k1时,有log2klog3klog4klgk;当0k1时,有log2klog3klog4klgk.②当0a1时,从左往右看图象是下降的,自变量x越大,函数值y就越小;当x∈(0,1)时,y0,当x∈(1,+∞)时,y0;自变量取同一值时,底数a越小,图象越接近x轴,即当k1时,log12𝑘log13𝑘log14𝑘log110𝑘;当0k1时,log12𝑘log13𝑘log14𝑘log110𝑘.题型一题型二题型三比较大小【例1】比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a0,且a≠1).分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较;(2)分别比较两对数与0的大小;(3)分类讨论底数a的取值范围.题型四题型一题型二题型三解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在区间(0,+∞)内是增函数,由于1.92,则f(1.9)f(2),所以log31.9log32.(2)(中间量法)因为log23log21=0,log0.32log0.31=0,所以log23log0.32.(3)(分类讨论)当a1时,函数y=logax在定义域上是增函数,则有logaπloga3.141;当0a1时,函数y=logax在定义域上是减函数,则有logaπloga3.141.综上所述,当a1时,logaπloga3.141;当0a1时,logaπloga3.141.题型四题型一题型二题型三反思比较两个对数值大小的方法:(1)单调性法:当底数相同时,构造对数函数利用其单调性来比较大小;(2)中间量法:当底数和真数都不相同时,通常借助中间量(如-1,0,1)来比较大小;(3)分类讨论法:当底数与1的大小关系不确定时,要对底数分类讨论.题型四题型一题型二题型三【变式训练1】已知实数a=log0.23,b=log0.30.2,c=log32,则a,b,c的大小关系为()A.bacB.abcC.cabD.acb解析:∵a=log0.23log0.21=0,b=log0.30.2log0.30.3=1,c=log32log33=1,且c=log32log31=0.∴acb.答案:D题型四题型一题型二题型三解不等式【例2】(1)解不等式:log2(2x-1)log2(-x+5).(2)已知log𝑎121,求𝑎的取值范围.分析:利用对数函数的单调性,将对数的大小比较转化为真数的大小比较,注意真数大于0.题型四题型一题型二题型三解:(1)由题意,得2𝑥-10,-𝑥+50,解得12𝑥5.又函数y=log2x在区间(0,+∞)内是增函数,所以原不等式化为2x-1-x+5,解得x2.所以原不等式的解集是𝑥12𝑥2.题型四(2)由题意知,log𝑎12log𝑎𝑎,当a1时,a12,此时a不存在.当0a1时,a12,即12𝑎1.所以a的取值范围为12,1.题型一题型二题型三题型四反思对数不等式有三种常见类型:(1)形如logaxlogab(a0,且a≠1,b0)的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0a1两种情况进行讨论.(2)形如logaxb(a0,且a≠1)的不等式,应将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.(3)形如logaf(x)logbg(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来去掉对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)不等式log2x1的解集为;(2)不等式log3(2x+1)+log13(3𝑥−1)0的解集为_____________.解析:(1)∵log2x1,∴log2xlog22,∴𝑥2,𝑥0,解得0x2,∴原不等式的解集为(0,2).题型一题型二题型三题型四(2)由log3(2x+1)+log13(3𝑥−1)0得log3(2x+1)-log13(3𝑥−1),即log3(2x+1)log3(3x-1).∴2𝑥+10,3𝑥-10,2𝑥+13𝑥-1,解得13𝑥2.∴原不等式的解集为13,2.答案:(1)(0,2)(2)13,2题型一题型二题型三题型四对数型函数的值域与最值【例3】求下列函数的值域:分析:先求出函数的定义域,再求出真数的范围,根据对数函数的单调性求出函数的值域.解:(1)y=log2(x2+4)的定义域是R.因为x2+4≥4,所以log2(x2+4)≥log24=2.所以y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).(1)y=log2(x2+4);(2)y=log12(3+2𝑥−𝑥2).题型一题型二题型三题型四(2)设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.因为u0,所以0u≤4.又y=log12𝑢在区间(0,+∞)上为减函数,所以log12𝑢≥log124=−2,所以y=log12(3+2𝑥−𝑥2)的值域为[-2,+∞).反思求函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响,结合函数的单调性求解,当函数中含有参数时,需讨论参数的取值.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】求y=log12𝑥2−12log12𝑥+5在区间2,4上的最大值和最小值.解:因为2≤x≤4,所以log122≥log12𝑥≥log124,即-1≥log12𝑥≥-2.设t=log12𝑥,则-2≤t≤-1,所以y=t2−12𝑡+5,其图象的对称轴为直线t=14,所以当t=-2时,ymax=10;当t=-1时,ymin=132.题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点忽略对底数的讨论致错【例4】已知函数y=logax(a0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值的差是1,求a的值.错解因为函数y=logax(a0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值是loga4,最小值是loga2,所以loga4-loga2=1,即log𝑎42=1,所以a=2.错因分析:错解中误以为函数y=logax(a0,且a≠1)在区间[2,4]上是增函数.题型一题型二题型三题型四正解:当a1时,函数y=logax在区间[2,4]上是增函数,所以loga4-loga2=1,当0a1时,函数y=logax在区间[2,4]上是减函数,所以loga2-loga4=1,反思在解决底数中含字母的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论,一般考虑a1与0a1两种情况.忽略底数a对函数y=logax(a0,且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解.即log𝑎42=1,所以a=2.即log𝑎24=1,所以a=12.综上可知,a=2或a=12.题型一题型二题型三题型四A.0a34或𝑎1B.34𝑎1C.a34D.𝑎34【变式训练4】已知log𝑎341,则𝑎的取值范围是()解析:∵log𝑎341,∴log𝑎34log𝑎𝑎,当0a1时,解得0a34;当a1时,解得a1.故选A.答案:A