2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 指数函数及其性质（第1课时）对

2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.2.理解对数的底数和真数的范围.3.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程.1.对数的概念名师点拨对数式logaN可看作一种记号,表示关于x的方程ax=N(a0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a0,且a≠1),幂为N,求幂指数的运算.因此,对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.条件ax=N(a0,且a≠1)结论数x叫做以a为底N的对数,a叫做对数的底数,N叫做真数记法x=logaN【做一做1-1】若2m=3,则m=()A.log32B.log23C.log22D.log33答案:B【做一做1-2】log78的底数是,真数是.答案:782.常用对数和自然对数(1)常用对数:通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lgN.(2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记为lnN.【做一做2】lg7与ln8的底数分别是()A.10,10B.e,eC.10,eD.e,10答案:C3.对数与指数的关系当a0,且a≠1时,ax=N⇔x=logaN.知识拓展当ax=N时,x=logaN,则𝑎log𝑎𝑁=𝑁(𝑎0,且a≠1).【做一做3-1】log54=a化为指数式是()A.54=aB.45=aC.5a=4D.4a=5答案:C【做一做3-2】a2=M(a0,且a≠1)化为对数式是()A.log2M=aB.logaM=2C.loga2=MD.log2a=M答案:B4.对数的基本性质(1)零和负数没有对数.(2)loga1=0(a0,且a≠1).(3)logaa=1(a0,且a≠1).【做一做4-1】在b=log3(m-1)中,实数m的取值范围是()A.RB.(0,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)解析:由m-10,得m1.答案:D【做一做4-2】log41+log(2-1)(2−1)=___________.解析:原式=0+1=1.答案:1如何理解对数的概念剖析(1)对数是由指数转化而来.对数式logaN=b是由指数式ab=N转化而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值b是指数式中的幂指数b.对数式与指数式的关系如图所示.在指数式ab=N中,若已知a,N,求幂指数b,便是对数运算b=logaN.(2)在对数记号logaN中,a0,且a≠1,N0.因为在ab=N中,a0,且a≠1,所以在logaN中,a0,且a≠1.又因为正数的任何次幂都是正数,即ab0(a0),所以N=ab0.(3)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式,如(-2)2=4不能写成log-24=2.只有当a0,且a≠1,N0时,才有ab=N⇔b=logaN.(4)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式,所以可以将对数问题转化为指数问题来解决.题型一题型二题型三题型四对数式与指数式的互化【例1】将下列指数式与对数式互化:分析:利用当a0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.解:(1)24=16.(1)log216=4;(2)log1327=−3;(3)log327=6;(4)43=64;(5)3-2=19;(6)14-2=16.(2)13-3=27.(3)(3)6=27.(4)log464=3.(5)log319=−2.(6)log1416=−2.题型一题型二题型三题型四反思根据这一关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A.e0=1与ln1=0B.813=2与log82=13C.log39=2与912=3D.log33=1与31=3解析:由指数与对数的互化关系,可知A,B,D均正确;C应为32=9.答案:C题型一题型二题型三题型四求对数的值【例2】求下列各式的值:(1)log1381;(2)lg0.001;(3)log(5-2)(5+2).解:(1)设log1381=𝑚,则13𝑚=81.∵81=34=13-4,∴13𝑚=13-4,∴m=-4,即log1381=−4.(2)设lg0.001=n,则10n=0.001.∵0.001=10-3,∴10n=10-3,∴n=-3,即lg0.001=-3.题型一题型二题型三题型四(3)设log(5-2)(5+2)=𝑝,则(5−2)𝑝=5+2.∵5+2=15-2=(5−2)−1,∴(5−2)𝑝=(5−2)−1,∴p=-1,∴log(5-2)(5+2)=−1.反思1.求对数式logaN(a0,且a≠1,N0)的值的步骤:(1)设logaN=m;(2)将logaN=m写成指数式am=N;(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.2.对数恒等式𝑎log𝑎𝑁=𝑁(𝑎0,且a≠1,N0).题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求下列各式的值:(1)log1232;(2)lg1000;(3)log7493.解:(1)设lo𝑔1232=𝑚,则12𝑚=32.即2-m=25,∴m=-5,即log1232=−5.(2)设lg1000=n,则10n=1000=103,∴n=3,即lg1000=3.(3)设log7493=𝑡,则7t=493=723.∴t=23,即log7493=23.题型一题型二题型三题型四解方程【例3】求下列各式中x的值:(1)log2(log4x)=0;(2)log3(lgx)=1;(3)log(2-1)13+22=𝑥.分析:由题目可获取以下主要信息:(1)(2)小题对数的值是特殊实数0和1;(3)小题中底数和真数都含有根式.解答本题可利用对数的定义求解.题型一题型二题型三题型四解:(1)∵log2(log4x)=0,∴log4x=20=1,∴x=41=4.(2)∵log3(lgx)=1,∴lgx=31=3,∴x=103=1000.(3)∵log(2-1)13+22=𝑥,∴2−1𝑥=13+22=1(2+1)2=12+1=2−1,∴𝑥=1.反思解有关对数的方程时,要观察方程,若在真数位置上含有未知数,则转化为指数式来解决,如本例(1)(2)小题;若底数和真数的位置上均不含有未知数,则求对数的值即可,如本例(3)小题;最后要注意验根,即检验是否符合对数的定义.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】求下列各式中的x值:(1)log28=x;(2)ln(lgx)=1;(3)log64x=−23.解:(1)∵log28=x,∴2x=8=23,∴x=3.(2)∵ln(lgx)=1,∴lgx=e,∴x=10e.(3)∵log64x=−23,∴𝑥=64-23=(26)-23=2−4=116.题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点忽视对数的底数的取值范围【例4】已知logx9=2,求x的值.错解∵logx9=2,∴x2=9,∴x=±3.错因分析:错解中,忽视了底数x0,且x≠1,导致出现增根.正解:∵logx9=2,∴x2=9,∴x=±3.又x0,且x≠1,∴x=3.反思解决有关对数问题,要明确对数的底数是不等于1的正数,真数是正数,否则容易出现错解.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知logx(x2-3x+3)=1,则x=.解析:∵logx(x2-3x+3)=1,∴𝑥2-3𝑥+3=𝑥,𝑥0,且𝑥≠1,解得x=3.答案:3