2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.1 指数与指数幂的运算（第1课时）

第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第1课时根式1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.2.能利用根式的性质对根式进行化简.1.n次方根定义一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且n∈N*个数n是奇数a0x0x仅有一个值,记为𝑎𝑛a0x0n是偶数a0x有两个值,且互为相反数,记为±𝑎𝑛a0x不存在归纳总结1.任何实数均有奇次方根,但只有非负数才有偶次方根,负数没有偶次方根.2.0n=0(𝑛1,且n∈N*).【做一做1-1】-83等于()A.2B.-2C.±2D.-8答案:B【做一做1-2】已知x4=2019,则x=.解析:∵x4=2019,∴x是2019的4次方根,则x=±20194.答案:±20194【做一做1-3】已知x7=5,则x=.解析:∵x7=5,∴x是5的7次方根,则x=57.答案:572.根式(1)定义:式子a𝑛叫做根式,这里𝑛叫做根指数,𝑎叫做被开方数.归纳总结正数开方要分清,根指奇偶大不同,根指为奇根一个,根指为偶双胞生.负数只有奇次根,算术方根零或正,正数若求偶次根,符号相反值相同.负数开方要慎重,根指为奇才可行,根指为偶无意义,零取方根仍为零.(2)性质:(n1,且n∈N*)①(𝑎𝑛)𝑛=𝑎.②𝑎𝑛𝑛=𝑎,𝑛为奇数,|𝑎|,𝑛为偶数.【做一做2-1】根式𝑚+1的根指数是______________,被开方数是______________.答案:2m+1【做一做2-2】-255=______________;(-2)44=______________.答案:-221.对(a𝑛)𝑛的理解剖析(a𝑛)𝑛是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值范围由n的奇偶性来决定.(1)当n为大于1的奇数时,(𝑎𝑛)𝑛=𝑎,𝑎∈R.例如,(273)3=27,(-325)5=−32,(07)7=0.(2)当n为大于1的偶数时,若a≥0,则(𝑎𝑛)𝑛=𝑎.例如,(274)4=27,(3)2=3,(06)6=0;若a0,则式子(𝑎𝑛)𝑛无意义.例如,由于x2=-2,x4=-54均不成立,因此-2,-544均无意义,所以(-2)2,(-544)4均无意义.由此看来,只要(𝑎𝑛)𝑛有意义,其值就恒等于a,即(𝑎𝑛)𝑛=𝑎.2.对an𝑛的理解剖析𝑎𝑛𝑛是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性限制,a∈R.但是这个式子的值受n的奇偶性限制.(1)当n为大于1的奇数时,其值为a,即𝑎𝑛𝑛=𝑎,例如,(-2)33=−2,6.155=6.1.(2)当n为大于1的偶数时,其值为|a|,即𝑎𝑛𝑛=|𝑎|.例如,344=3,(-3)2=|−3|=3.因此,𝑎𝑛𝑛=𝑎,𝑛为奇数,|𝑎|,𝑛为偶数.题型一题型二题型三利用根式的性质化简、求值【例1】求下列各式的值:(1)(-8)33+(3-π)44;(2)(𝑎-𝑏5)5+(𝑏-𝑎6)6(𝑏𝑎).分析:先利用根式的性质化简各个根式,再进行运算.解:(1)原式=-8+|3-π|=-8+π-3=π-11.(2)原式=(a-b)+(b-a)=a-b+b-a=0.反思化简𝑎𝑛𝑛时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(𝑎𝑛)𝑛时,关键是明确𝑎𝑛是否有意义,只要𝑎𝑛有意义,就有(𝑎𝑛)𝑛=𝑎.题型一题型二题型三【变式训练1】化简:(𝑎-1)2+(1-𝑎)2+(1-a)33=________.解析:由题意,首先a-1≥0,即a≥1.从而(𝑎-1)2=𝑎−1,(1-a)2=|1−𝑎|=𝑎−1,(1-𝑎)33=1−𝑎,所以原式=a-1+a-1+1-a=a-1.答案:a-1题型一题型二题型三有条件的根式的化简【例2】设-3x3,化简𝑥2-2𝑥+1−𝑥2+6𝑥+9.分析:去根号,化为含绝对值的形式→讨论x的取值,去绝对值→分别化简得结论解:原式=(𝑥-1)2−(𝑥+3)2=|𝑥−1|−|𝑥+3|.∵-3x3,∴当-3x1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.∴原式=-2𝑥-2,-3𝑥1,-4,1≤𝑥3.题型一题型二题型三反思1.有条件的根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.2.有条件的根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.题型一题型二题型三【变式训练2】当a0时,-𝑎𝑥3等于()A.𝑥𝑎𝑥B.𝑥-𝑎𝑥C.-𝑥-𝑎𝑥D.−𝑥𝑎𝑥解析:∵a0,∴x0,∴-𝑎𝑥3=|𝑥|-𝑎𝑥=−𝑥-𝑎𝑥.答案:C题型一题型二题型三易混易错题易错点化简an𝑛忽略条件而致误【例3】计算:(1+2)33+(1-2)44.错解(1+2)33+(1-2)44=(1+2)+(1−2)=2.错因分析:(1-2)44≠1−2,因为1−20,所以(1-2)44=|1−2|=2−1.其出错原因是忽略了𝑎𝑛𝑛=𝑎成立的条件是n为奇数,如果n为偶数,那么𝑎𝑛𝑛=|𝑎|.正解:(1+2)33+(1-2)44=(1+2)+|1−2|=1+2+2−1=22.题型一题型二题型三【变式训练3】若4𝑎2-4𝑎+1=(1-2a)33,则𝑎的取值范围是()A.a≥12B.𝑎≤12C.−12≤a≤12D.R解析:∵4𝑎2-4𝑎+1=|1−2𝑎|,(1-2𝑎)33=1−2𝑎,∴|1-2a|=1-2a,即1-2a≥0,∴a≤12.答案:B