2019-2020学年高中数学 第3章 基本初等函数 3.3 幂函数课件 新人教B版必修1

3.3幂函数1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1𝑥,y=𝑥12的图象,了解它们的简单性质.3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.121.幂函数的定义一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量,α为常数.关于定义的理解:①幂的底数是自变量;②幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;③幂值前面的系数是1,否则不是幂函数;④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即xα的系数为1,指数位置的α为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件的均可.12【做一做1-1】下列函数是幂函数的是()解析:幂函数必须符合y=xα(α为常数)的形式.答案:DA.y=3x2B.y=x2+1C.y=−1𝑥D.y=xπ【做一做1-2】若函数y=(k2-k+1)x3是幂函数,则实数k的值是()A.0B.1C.0或1D.k≠0,且k≠1解析:由幂函数的定义可知k2-k+1=1,解得k=0或k=1.答案:C122.函数y=x,y=x2,y=x3,y=𝑥12,y=x-1的图象与性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1图象定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)续表y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在(0,+∞)为增函数,在(-∞,0)为减函数增增在(0,+∞)为减函数,在(-∞,0)为减函数定点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)12已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断幂函数y=xα的单调性时,通常借助其指数α的符号来分析.12【做一做2-1】函数y=𝑥53的图象大致是()解析:y=𝑥53为奇函数,排除选项D,因为531,所以函数图象应为选项B的图象.答案:B12【做一做2-2】下列函数中既是偶函数,又在(-∞,0)上是增函数的是()A.y=𝑥43B.y=𝑥32C.y=x-2D.y=𝑥-14答案:C12【做一做2-3】当α∈-1,12,1,3时,幂函数y=xα的图象不可能经过第象限.解析:当α=-1,1,3时,y=xα为奇函数,且当x0时,y0,当x0时,y0,不经过第二、四象限.当α=12时,y=𝑥12,此时图象只在第一象限.答案:二、四一、详述幂函数的定义和定义域剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如y=mxα,y=(mx)α,y=xα+m,y=(x+m)α(以上m均为不等于零的常数)的函数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都不是幂函数,尤其要区分开y=x0与y=1,要知道y=1是函数,但不是幂函数;y=x0是幂函数.(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.(3)幂函数的定义域由指数α确定.①当α是正整数时,x∈R.②当α是正分数时,设α=𝑝𝑞(p,q是互质的正整数),若q是奇数,则y=xα的定义域是R;若q是偶数,则y=xα的定义域是[0,+∞).③当指数α是负整数时,设α=-k,xα=1𝑥𝑘,则x∈{x|x∈R,且x≠0}.④当指数α是负分数时,设n=−𝑝𝑞(p,q是互质的正整数),若q是奇数,则定义域为{x|x∈R,且x≠0};若q是偶数,则定义域为(0,+∞).二、幂函数的图象与性质剖析:(1)幂函数的图象幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面:①定义域:有x∈R,x≠0,x≥0,x0四种情况.②奇偶性.③单调性:侧重点在第一象限.当指数α0时,尤其要注意以(0,0)和(1,1)两点为对角顶点的正方形内部的情况.④曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况.(2)幂函数的性质①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);②若α0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;③若α0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.三、教材中的“思考与讨论”(1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?(2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?(3)幂函数y=xα,x∈[0,+∞),α1与0α1的图象有何不同?剖析:(1)重要性质:①定义域为R,图象都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数.(2)重要性质:①定义域、值域为R,图象都经过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上单调递增.(3)两者图象的区别和联系:无论α1还是0α1,函数y=xα在[0,+∞)上的图象都是单调递增的,但在[0,1]上前者比后者增长得慢,在(1,+∞)上前者比后者增长得快.题型一题型二题型三题型四题型一幂函数的定义【例1】(1)下列函数中,是幂函数的是.(填序号)①y=x-3;②y=5x2;③y=x2+2x;④y=(x-1)4;⑤y=1𝑥2.(2)若幂函数f(x)的图象经过点4,116,则𝑓22的值等于_____.解析:(1)由幂函数的定义知,①是幂函数,②③④不是幂函数,而y=1𝑥2=𝑥−2,故⑤也是幂函数.(2)由题意,设f(x)=xα,则4α=116,解得α=-2,于是f(x)=x-2,故𝑓22=22-2=2.答案:(1)①⑤(2)2题型一题型二题型三题型四反思1.有些函数,形式上不符合幂函数的定义,但经过化简整理后符合幂函数的定义,也是幂函数.例如,y=𝑥,y=1𝑥等.2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数α,因此只需一个条件就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=xα,根据条件求出α.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】(1)下列函数①y=x2+1;②y=𝑥-12;③y=2x2;④y=𝑥-23;⑤y=𝑥-13+1.其中是幂函数的是()A.①⑤B.①②③C.②④D.②③⑤(2)若幂函数y=f(x)的图象经过点9,13,则f(25)=.解析:(1)只有②y=𝑥-12和④y=𝑥-23是幂函数;(2)设f(x)=xα,由9α=13,得α=−12,f(x)=𝑥-12,f(25)=25-12=15.答案:(1)C(2)15题型一题型二题型三题型四题型二幂函数的图象【例2】幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.bcdaB.bcadC.abcdD.adcb题型一题型二题型三题型四解析:方法一(性质法):由幂函数的性质可知,当自变量x1时,幂指数大的函数的函数值较大,故有bcda.方法二(类比法):当x趋于正无穷时,函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴,类似于典型幂函数y=x-1,故a0.函数y=xb在区间[0,+∞)上是增函数,图象下凸,类似于函数y=x2,故b1.故0c1,0d1.所以a最小,b最大.同理可知y=xc,y=xd类似于y=𝑥12,题型一题型二题型三题型四方法三(特殊值法):作直线x=2,由图象可知2a2d2c2b,由指数函数的性质可知adcb,故选D.答案:D反思幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大,即“指大图高”.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】给出下列一组函数解析式:①y=𝑥34;②y=𝑥23;③y=𝑥-32;④y=𝑥-23;⑤y=𝑥32;⑥y=𝑥-13;⑦y=𝑥13,给出下列一组函数的图象.请将每个图象对应的解析式的号码填在图象下面的括号内.题型一题型二题型三题型四答案:⑥④③②⑦①⑤题型一题型二题型三题型四题型三幂函数性质的应用【例3】比较下列各组中两个幂值的大小:(1)-23-1与-35-1;(2)2334与3423.分析:(1)借助函数y=1𝑥;(2)借助函数y=23𝑥与y=𝑥23.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,且−23−35,所以-23-1-35-1.(2)因为函数y=23𝑥在(-∞,+∞)上是减函数,且3423,所以23232334.又因为函数y=𝑥23在(0,+∞)上是增函数,且3423,所以34232323.所以34232334.题型一题型二题型三题型四反思解以上例题的关键在于适当选取某一个函数.函数选得恰当,解决问题就简单.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】比较下列各组中两个幂值的大小:(1)3-52与3.1-52;(2)8-78与1978;(3)-23-23与-π6-23.解:(1)因为f(x)=𝑥-52在(0,+∞)上是减函数,且33.1,所以3-523.1-52.(2)因为f(x)=𝑥78在(0,+∞)上是增函数,且1819,所以18781978,即8-781978.题型一题型二题型三题型四(3)-23-23=23-23,-π6-23=π6-23.因为函数y=𝑥-23在(0,+∞)上是减函数,且23π6,所以23-23π6-23,即-23-23-π6-23.题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点:忽视幂函数的性质致误【例4】若(a+1)-13(3-2𝑎)-13,试求a的取值范围.错解:因为函数y=𝑥-13是减函数,所以a+13-2a.所以a23,即a的取值范围是23,+∞.错因分析:误认为y=𝑥-13是R上的减函数,实质是y=𝑥-13在(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,而没有整体定义域上为减函数的性质.题型一题型二题型三题型四正解:对于(a+1)-13(3-2𝑎)-13,可分三种情况讨论.①a+1和3-2a都在(-∞,0)内,𝑎+13-2𝑎,𝑎+10,3-2𝑎0,此时方程组无解;②a+1和3-2a都在(0,+∞)内,𝑎+13-2𝑎,𝑎+10,3-2𝑎0,解得23𝑎32;③若a+1和3-2a不在同一单调区间内,则有𝑎+10,3-2𝑎0,解得a-1.综上可知,a的取值范围为23,32∪(-∞,-1).题型一题型二题型三题型四反思通过本题,我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象,并且还说明了函数的单调性是针对某一确定区间而言的,不能随便取并集.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】若(1-𝑎)12(3a-2)12,求a的取值范围.解:因为函数y=𝑥12是定义域在[0,+∞)上的增函数,所以1-𝑎≥0,3𝑎-2≥0,1-𝑎3𝑎-2,解得34𝑎≤1,即a的取值范围是34,1.1234561下列函数是奇函数,且是幂函数的是()A.y=x-1B.y=x+x3C.y=𝑥13D.y=x2答案:C解析:函数y=𝑥13和y=x2是幂函数,而y=𝑥13是奇函数,y=x2是偶函数.1234562若幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是()A.(2,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)解析:设f(x)=xα,由2α=4,得α=2,故f(x)=x2,其单调递增区间为[0,+∞).