（浙江专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象与性质(一)课

第13课时二次函数的图象与性质(一)考点一二次函数的定义若y=(m-1)𝑥𝑚2+2𝑚-1+2mx-1是二次函数,则m的值是.-3知识梳理1.定义:形如y=ax2+bx+c(a)的函数叫二次函数,其中a,b,c为常数.2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征(1)等号左边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.(2)二次项系数a≠0.≠0考点二二次函数的图象与性质1.[2019·衢州]二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是()A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)A2.[2018·成都]关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-33.[2019·兰州]已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2y1y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12DA知识梳理函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向抛物线开口向上抛物线开口向下对称轴直线x=-𝒃𝟐𝒂函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0顶点坐标,增减性当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小最值当x=时,y取最小值,y最小值=当x=时,y取最大值,y最大值=(续表)-𝒃𝟐𝒂𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂x≤-𝒃𝟐𝒂x-𝒃𝟐𝒂x≤-𝒃𝟐𝒂x-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂考点三抛物线的平移[2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位B知识梳理任何抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)都可以通过抛物线y=ax2平移得到.如图13-1所示,其中h0,k0.图13-1考点四用待定系数法求二次函数的表达式1.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式是.2.[2017·百色]经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是.y=x2-7x+12y=-𝟑𝟖x2+𝟑𝟒x+3知识梳理1.一般式:y=ax2+bx+c若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数表达式为y=ax2+bx+c,将已知三个点的坐标代入,求出a,b,c的值.2.顶点式:y=a(x-h)2+k若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数表达式为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般形式.3.交点式:y=a(x-x1)(x-x2)若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般形式.考向一二次函数的图象与性质例1[2019·嘉兴]小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的性质时,有如下结论:①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1x2,x1+x22m,则y1y2;④当-1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2.其中错误结论的序号是()A.①B.②C.③D.④[答案]C[解析]二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数),∵顶点坐标为(m,-m+1)且当x=m时,y=-m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上,故结论①正确;假设存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y=0,得-(x-m)2-m+1=0,其中m≤1,解得x=m--𝑚+1,x=m+-𝑚+1,∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|-m+1|=|m-(m--𝑚+1)|,解得m=0或1,∴存在m=0或1,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确;∵x1+x22m,∴𝑥1+𝑥22m,∵二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的对称轴为直线x=m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1x2,且-10,∴y1y2,故结论③错误;当-1x2时,y随x的增大而增大,且-10,∴m的取值范围为m≥2.故结论④正确.故选C.|考向精练|[2019·烟台]已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0x4时,y0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1x2.其中正确的个数是().A.2B.3C.4D.5x-10234y50-4-30[答案]B[解析]先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确;由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确;由抛物线的图象可以看出当0x4时,y0,所以结论③错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,既有可能x1x2,也有可能x1x2,所以结论⑤错误.考向二抛物线的平移例2[2018·宁波]已知抛物线y=-12x2+bx+c经过点(1,0),0,32.(1)求抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=-12x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.解:(1)把(1,0)和0,32代入y=-12x2+bx+c,得-12+𝑏+𝑐=0,𝑐=32,解得𝑏=-1,𝑐=32,∴抛物线的函数表达式为y=-12x2-x+32.例2[2018·宁波]已知抛物线y=-12x2+bx+c经过点(1,0),0,32.(2)将抛物线y=-12x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.解:(2)∵y=-12x2-x+32=-12(x+1)2+2,∴顶点坐标为(-1,2),∴将抛物线y=-12x2-x+32平移,使其顶点恰好落在原点的一种平移方法:先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度(答案不唯一),平移后的函数表达式为y=-12x2.【方法点析】解决抛物线的平移问题,除了利用抛物线的平移规律外,还可以转化为一些点的平移,如顶点、与坐标轴的交点等.|考向精练|[2019·济宁]将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-2D考向三求二次函数的表达式图13-2例3[2019·泰州]如图13-2,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式;(2)求tan∠ABC.解:(1)因为二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),所以设该二次函数表达式为y=a(x-4)2-3,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入y=a(x-4)2-3,解得a=13,所以y=13(x-4)2-3.图13-2例3[2019·泰州]如图13-2,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(2)求tan∠ABC.解:(2)在抛物线中,令x=0,得y=73,所以C0,73,OC=73,令y=0,得x1=1,x2=7,所以B(7,0),OB=7,所以在Rt△OBC中,tan∠ABC=𝑂𝐶𝑂𝐵=13.|考向精练|1.[2018·湖州]已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.解:把点(-1,0),(3,0)的坐标分别代入y=ax2+bx-3,得0=𝑎-𝑏-3,0=9𝑎+3𝑏-3,解得𝑎=1,𝑏=-2.即a的值为1,b的值为-2.2.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax2+bx+3,得𝑎-𝑏+3=6,𝑎+𝑏+3=2,解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x2+bx+c,得1-𝑏+𝑐=-2,1+𝑏+𝑐=2,解得b=2是正确的,∴y=x2+2x+3.2.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…解:(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,∵二次项系数为1,故抛物线开口向上,∴当x≥-1时,y的值随x值的增大而增大.故答案为≥-1.2.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…解:(3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4-4(3-k)0,解得k2.考向四二次函数的最值问题例4已知关于x的二次函数y=x2-2x-2,该函数的最小值为;当x≤0时,该函数有最值,为.-3小-2【方法点析】在实数范围内求二次函数的最值,找图象顶点的纵坐标即可;在给定自变量范围内求二次函数的最值时,需分析给定范围与对称轴的关系:①给定范围在对称轴的左侧(或右侧),函数在范围端点处取得最值:②对称轴的取值在给定范围内,则一个最值在图象顶点处取得,一个在距离对称轴取值较远的端点处取得.|考向精练|1.[2019·温州]已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2[答案]D[解析]∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内,当x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有最大值7.故选D.2.[2018·黄冈