北京市石景山区2016届高三数学一模考试试卷-理(含解析)

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}Mxxx，R，2{|1}Nxxx，R，则MN＝()A．01，B．01，C．01，D．01，2．设i是虚数单位，则复数21ii在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．1yxB．3yxC．1yxD．yxx4．下图给出的是计算111124610的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是()A．5iB．5iC．6iD．6i5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A．8B．62C．10D．826．在数列na中，“1nnaa”是“数列na为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．函数()sin()(00)2fxAxA，，的部分图象如图所示，则将()yfx的图象向右平移6个单位后，得到的函数图象的解析式为()A．sin2yxB．2sin(2)3yxC．sin(2)6yxD．cos2yx8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半(即2n)；如果n是奇数，则将它乘3加1(即31n)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n的所有不同值的个数为()A．4B．6C．32D．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212xy的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量xy，满足约束条件280403xyxy，，，则2zxy的最大值等于_____．11．如图，AB是半圆O的直径，30BAC，BC为半圆的切线，且43BC，则点O到AC的距离OD＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为11xsys，(s为参数)，曲线C的参数方程为22xtyt，(t为参数)，若直线l与曲线C相交于AB，两点，则AB＝____．13．已知函数2log0()30xxxfxx，，，，关于x的方程()0fxxa有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题得分甲××√××√×√5乙×√××√×√×5丙√×√√√×××6丁√×××√×××？丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）设△ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，且sin3cosbAaB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若3sin2sinbCA，，求ac，的值．16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．17．（本小题共14分）如图，三棱柱111ABCABC中，1AA⊥平面ABC，BCAC，2BCAC，13AA，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：1AB∥平面1BDC；（Ⅱ）求二面角1CBDC的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA上是否存在点P，使得CP⊥平面1BDC？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数()sincosfxxxx．（Ⅰ）求曲线)(xfy在点(())πfπ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x，时，31()3fxx；（Ⅲ）若()cosfxkxxx对(0)2x，恒成立，求实数k的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为2，离心率为22，直线:lykxm与椭圆C交于AB，两点，且线段AB的垂直平分线通过点1(0)2，．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{}na的前n项和nmSa，则称{}na是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为2nnS的数列{}na是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2nbn的数列{}nb是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{}na是等差数列，首项11a，公差0d，若{}na是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{}na，总存在两个“回归数列”{}nb和{}nc，使得nnnabc*()nN成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算【试题解析】因为故答案为：D【答案】D2【知识点】复数综合运算【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D【答案】D4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C【答案】C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。故答案为：【答案】14【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同所以，丁的得分也是6分。故答案为：6【答案】615【知识点】解斜三角形【试题解析】（Ⅰ），由正弦定理得，在△中，，即，，．（Ⅱ），由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，∴．【答案】见解析16【知识点】概率综合【试题解析】（Ⅰ）由题意得，所以，又，所以．（Ⅱ）设事件为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为，所以．（Ⅲ）记分期付款的期数为，依题意得，，，，，因为可能取得值为元，元，元，并且易知，，，所以的分布列为所以的数学期望【答案】见解析17【知识点】立体几何综合【试题解析】（Ⅰ）证明：连接，与相交于，连接．∵是矩形，∴是的中点．又是的中点，∴∥．∵平面，平面，∴∥平面．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，设是平面的一个法向量，则即令，则，易知是平面的一个法向量，∴，由题意知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．（Ⅲ）假设侧棱上存在一点()，使得平面．则，即∴．∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱上不存在点，使⊥平面．【答案】见解析18【知识点】导数的综合运用【试题解析】解：（Ⅰ），．所以切线方程为．（Ⅱ）令，则，当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以，所以．（Ⅲ）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则．易知，即在单调递增，所以，所以故在单调递减，所以．综上所述，的最大值为．【答案】见解析19【知识点】椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由已知可得解得，故椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设，，联立方程消去得．当，即时，，．所以，．当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号．当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得．由得．又原点到直线的距离为．所以而且，则．所以当，即时，取得最大值．综上，最大值为．【答案】见解析20【知识点】数列综合应用【试题解析】解:（Ⅰ）①∵，作差法可得，当时，；当时，，存在，使得∴数列是“回归数列”．②∵，∴前项和，根据题意∵一定是偶数，∴存在，使得∴数列是“回归数列”．（Ⅱ），根据题意，存在正整数，使得成立即，，，∴，即．（Ⅲ）设等差数列总存在两个回归数列，使得………9分证明如下：数列前项和，时，；时，；时，为正整数，当时，．∴存在正整数，使得，∴是“回归数列”数列前项和存在正整数，使得，∴是“回归数列”，所以结论成立．【答案】见解析