江西省新余市七校2016届高三数学第三次联考试题

江西省新余市七校2016届高三第三次联考数学试卷本卷共四大题，分试题卷和答题卷，考生一律在试题卷上作答。考试时间120分钟，满分150分。答题时，考生先将自己的姓名,准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水笔的签字笔书写，不得使用铅笔或圆珠笔。作答时，字体工整，字迹清楚。请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸,试题卷上答题无效。选考题的作答：先把所选题目对应题号的方框在答题卡上指定位置用2B铅笔涂黑。一：选择题。在每小题所给的A、B、C及D四个选项中，只有一个选项最符合题意，每小题分值为5分。1.已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=5+ni，则=（）A．iB．﹣iC．1D．﹣12.若在区间（4，+）上是增函数，那么实数的取值范围是()A．B．C．D．3.命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04.下列三个数：，大小顺序正确的是（）5..某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．C．3D．6.圆x2+y2=4上与直线l：4x﹣3y+12=0距离最小的点的坐标是（）A．（，）B．（，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，﹣）7.己知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则ω=（）A．3B．2C．6D．58.已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A.B．C．D．9.观察下图：1234则第()行的各数之和等于20112.()3456745678910…………A．2010B．2009C．1006D．100510.已知等比数列的公比为正数，且，则等于（）A．B．C．D．211.已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣=1B．x2﹣y2=15C．﹣y2=1D．﹣=112.已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．二．填空题。每小题5分，共25分。13.甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿甲者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．14.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且则x，y，z的值分别为________________．15.已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为．8π16.已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_______．17.已知函数y=4b2﹣3b2sin2θ﹣3bsinθ+的最大值为7，实数b的值为.三、解答题：解答时必须写出必要的过程和文字解释。18.(12分)在中，角的对边分别为，且，。（1）求角B的大小；（2）若等差数列的公差不为零，且=1，且成等比数列，求的前项和19.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求证：面PBD⊥面PAC；（3）若PA=AB，求PD与平面PAC所成角的大小．（1）如图连接BD，通过证明EF∥PD，证明EF∥平面PCD；（2）证明BD⊥AC，PA⊥BD，证明BD⊥平面PAC，然后证明面PBD⊥面PAC；（3）连接PE，说明∠EPD是PD与平面PAC所成的角．通过Rt△PAD≌Rt△BAD．在Rt△PED中，求出sin∠EPD的值，推出PD与平面PAC所成角的大小．20.(12分)为推进成都市教育均衡发展，某中学需进一步壮大教师队伍，拟准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为。（Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为。现对该小组中男生甲．男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望。21.（12分）已知椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程．（1）由已知得，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由此利用根的判别式、根与系数关系、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．22.（8分）已知函数f(x)＝lnx－.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．四：选做题：从23题或24题任选一题，所做题目必须与所涂题目一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则每学科按所做的第一题给分。23.（9分）如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，试求的大小．23.（9分）已知函数.（I）解不等式；（II）若，求证：.江西省新余市七校2016届高三第三次联考数学试题参考答案1~5：ABACD6~10：CBBCB11：C12：C13.14.，，15.8π16.m417.b=+118.(1)由所以，又由，，，则为钝角。，则解得。…6分(2)设的公差为，由已知得，且.∴．又,∴.∴.……9分∴.∴…………12分19.解：（1）证明：如图连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，所以EF∥PD，因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD；（2）因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD，因此BD⊥平面PAC，BD在平面PBD内，故面PBD⊥面PAC；（3）连接PE，由（2）可知BD⊥平面PAC，故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，所以Rt△PAD≌Rt△BAD．因此PD=BD，在Rt△PED中sin∠EPD==，∠PAD=30°，所以PD与平面PAC所成角的大小是30°．20.21.解：（1）∵椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，△=（﹣16k）2﹣48（1+4k2）＞0，由根与系数关系得x1+x2=，x1•x2=，∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，∴y1y2=k2x1•x2﹣2k（x1+x2）+4．∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0，∴﹣+4=0，解得k=±2，∴直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2．22.(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a0，∴f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f(x)x2，∴lnx－x2.又x0，∴axlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)h(1)＝－20，即g′(x)0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．g(x)g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立．那a的取值范围是[－1，＋∞)．23.（Ⅰ）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理，，得，设半径OB=，因BD=OB，且BC=OC=，则，，所以(4分)（Ⅱ）由（1）可知，，且，故∽，所以；根据圆周角定理得，，则（10分）24.（I）∵.因此只须解不等式.当时，原不式等价于，即.当时，原不式等价于，即.当时，原不式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（II）∵又0时，∴0时，.