上海市普陀区2016届高三数学下学期质量调研试题

2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷2016.4考生注意:1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸相应位置，本卷上的任何解答都不作评分依据.一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.若集合RxxyxA,1|，RxxxB,1|||，则BA.2.若函数xxf11)(0x的反函数为)(1xf，则不等式2)(1xf的解集为.3.【理科】若53sin且是第二象限角，则42cot.【文科】【理科】若53sin且是第二象限角，则4tan.4.若函数)(xf是定义在R上的奇函数，且满足)()2(xfxf，则)2016(f.5.在831xx的展开式中，其常数项的值为.6.若函数xxf2sin)(，6)(xfxg，则函数)(xg的单调递增区间为.7.【理科】设P是曲线tansec22yx（为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为.【文科】设P是曲线1222yx上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为.8.【理科】在极坐标系中，O为极点，若6,1A，32,2B，则△AOB的面积为.【文科】不等式组0203yxyxx所表示的区域的面积为.9.【理科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为，则E.【文科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）.10．若函数xxf5log)(（0x），则方程1)3()1(xfxf的解x.11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为2cm（损耗忽略不计）.12.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33CB上有10个不同的点1021,,,PPP，记iiAPABM2（10,,2,1i），则1021MMM.13．设函数0),1(0,2)(xxfxaxfx，记xxfxg)()(，若函数)(xg有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是.14.已知*Nn，从集合n,,3,2,1中选出k（Nk,2k）个数kjjj,,,21，使之同时满足下面两个条件：①njjjk211；②mjjii1（1,,2,1ki），则称数组kjjj,,21为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为mknC,.例如根据集合3,2,1可得31,23C.给定集合7,6,5,4,3,2,1，可得2,37C.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若a、b表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（）（A）若a，ba，则//b（B）若//a，ba，则b（C）若a，b，则ba（D）若//a，//b，则ba//16.过抛物线xy82的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）（A）有且只有一条（B）有两条（C）有无穷多条（D）必不存在17.若zC，则“1Im,1Rezz”是“1||z”成立的条件.（）（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）既非充分又非必要18.对于正实数，记M是满足下列条件的函数)(xf构成的集合：对于任意的实数Rxx21,且21xx，都有121212)()(xxxfxfxx成立.下列结论中正确的是（）（A）若21)(,)(MxgMxf，则21)()(Mxgxf（B）若21)(,)(MxgMxf且0)(xg，则21)()(Mxgxf（C）若21)(,)(MxgMxf，则21)()(Mxgxf（D）若21)(,)(MxgMxf且21，则21)()(Mxgxf三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】在正四棱柱1111DCBAABCD中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：EA1与BC1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.【理科】在正四棱柱1111DCBAABCD中，底面边长为1，BC1与底面ABCD所成的角的大小为2arctan，如果平面11CBD与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【理科】已知函数xxxfcos3sin2)(【文科】已知函数)(xfxxx2cos3cossin（1）若20x，求函数)(xf的值域；（2）设ABC的三个内角CBA,,所对的边分别为cba,,，若A为锐角且23)(Af，2b，3c，求)cos(BA的值.ABCDE1B1C1A1DABC1B1C1A1DD21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润500310xa万元（0a），A项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围.22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分6分.已知椭圆：14522yx的中心为O，一个方向向量为),1(kd的直线l与只有一个公共点M（1）若1k且点M在第二象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线1l与l垂直，求证：点M到直线1l的距离25d；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为1k，且d为直线OP的一个法向量，且541kk求22OPON的值.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列na的前n项和为nS，且11a，121nnnaaS（*Nn）（1）求证：数列na是等差数列；（2）设数列nb满足：122nnaanb，且3841lim1211nnkkkknbbbbbb，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且2m，mk，在数列kc中，11c，11kkkamkcc，求mccc21.2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.12.231，3.【理科】2【文科】74.05.286.12,125kk，zk7.14822yx.8.【理科】1.【文科】169.【理科】29【文科】5210．4.11.9.12.18013．2a14.10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.题号15161718答案CBBC三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,CC1为正四棱柱1111DCBAABCD的高底面四边形11ABBA是正方形，且面积为1,故由shV2，可得21CC.……2分假设EA1与BC1不是异面直线，则它们在同一平面内由于点1A、E、B在平面11ABBA内，则点1C也在平面11ABBA内，这是不可能的，故EA1与BC1是异面直线.…………5分取11BA的中点为E，连接BE,1EC,所以EABE1//,1EBC或其补角，即为异面直线EA1与BC1所成的角.……7分在1BEC，51BC,217BE,251EC,……9分由余弦定理得，8585821752454175cos1EBC0,即85858arccos1EBC，…11分ABCDE1B1C1A1D所以异面直线EA1与BC1所成的角的大小为85858arccos.……12分【理科】【解】根据题意，可得CC1底面ABCD，所以BC是BC1在平面ABCD上的射影，故BCC1即为直线BC1与底面ABCD所成的角，即BCC12arctan.……2分在BCCRT1中，2tan11BCBBCCC……3分以D为坐标原点，以射线1,,DDDCDA所在的直线分别为zyx,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由于DD1平面ABCD，故1DD是平面的一个法向量，且1DD2,0,0……5分0,1,1B,1,0,01D,2,1,01C,故2,1,11BD,2,0,11BC……7分设zyxn,,是平面11CBD的一个法向量,所以0011BCnBDn,即0202zxzyx,不妨取1z,则02yx,即1,0,2n……9分设平面11CBD与底面ABCD所成的二面角为,则5552120002cos11DDnDDn,即55arccos……11分所以平面11CBD与底面ABCD所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.20.【解】（1）xxxxfcoscos3sin)(xxx2cos3cossin232cos232sin21xx2332sinx…………2分ABCDE1B1C1A1DyxzABC1B1C1A1DD由20x得，34323x，132sin23x…………4分2312332sin0x，所以函数)(xf的值域为231,0………6分（2）由232332sin)(AAf得，032sinA又由20A得，34323A，只有32A，故3A.…………8分在ABC中，由余弦定理得，Abccbacos222273cos32294,故7a…………10分由正弦定理得，BbAasinsin，所以721sinsinaAbB由于ab，所以772cosB…………12分BABABAsinsincoscoscos14757212377221……14分21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，