（通用版）2020版高考数学复习 专题五 立体几何 5.3 空间向量课件 理

5.3空间向量-2-高考命题规律1.每年必考考题,主要考查空间位置关系的证明和空间角的求解.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1空间位置关系证明与线面角求解1819191820命题角度2空间位置关系证明与二面角求解18181919191817命题角度3折叠问题、点到平面的距离1919命题角度4探究性问题-3-高考真题体验典题演练提能空间位置关系证明与线面角求解1.(2019浙江·19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.-4-高考真题体验典题演练提能解:方法一:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.-5-高考真题体验典题演练提能(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=23,EG=3.由于O为A1G的中点,故EO=OG=𝐴1𝐺2=152,所以cos∠EOG=𝐸𝑂2+𝑂𝐺2-𝐸𝐺22𝐸𝑂·𝑂𝐺=35.因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35.-6-高考真题体验典题演练提能方法二:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC.如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.不妨设AC=4,则A1(0,0,23),B(3,1,0),B1(3,3,23),F32,32,23,C(0,2,0).因此,𝐸𝐹=32,32,23,𝐵𝐶=(-3,1,0).由𝐸𝐹·𝐵𝐶=0得EF⊥BC.-7-高考真题体验典题演练提能(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得𝐵𝐶=(-3,1,0),𝐴1𝐶=(0.2,-23).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).由𝐵𝐶·𝑛=0,𝐴1𝐶·𝑛=0,得-3𝑥+𝑦=0,𝑦-3𝑧=0.取n=(1,3,1),故sinθ=|cos𝐸𝐹·n|=|𝐸𝐹·𝑛||𝐸𝐹|·|𝑛|=45.因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为35.-8-高考真题体验典题演练提能2.(2019天津·17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.13-9-高考真题体验典题演练提能(1)证明:依题意,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h0),则F(1,2,h).𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝐸依题意,𝐴𝐵=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又𝐵𝐹=(0,2,h),可得𝐵𝐹·𝐴𝐵=0,又因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE.-10-高考真题体验典题演练提能(2)解:依题意,𝐵𝐷=(-1,1,0),𝐵𝐸=(-1,0,2),𝐶𝐸=(-1,-2,2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则𝑛·𝐵𝐷=0,𝑛·𝐵𝐸=0,即-𝑥+𝑦=0,-𝑥+2𝑧=0,不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos𝐶𝐸,n=𝐶𝐸·𝑛|𝐶𝐸||𝑛|=-49.所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.-11-高考真题体验典题演练提能(3)解:设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,则𝑚·𝐵𝐷=0,𝑚·𝐵𝐹=0,即-𝑥+𝑦=0,2𝑦+ℎ𝑧=0,不妨令y=1,可得m=1,1,-2ℎ.由题意,有|cosm,n|=|𝑚·𝑛||𝑚||𝑛|=4-2ℎ32+4ℎ2=13,解得h=87,经检验,符合题意.所以,线段CF的长为87.-12-高考真题体验典题演练提能3.(2018全国Ⅰ·18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.-13-高考真题体验典题演练提能(2)解:作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,𝐻𝐹的方向为y轴正方向,|𝐵𝐹|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得PH=32,EH=32.则H(0,0,0),P0,0,32,D-1,-32,0,𝐷𝑃=1,32,32,𝐻𝑃=0,0,32为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=𝐻𝑃·𝐷𝑃|𝐻𝑃||𝐷𝑃|=343=34.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.-14-高考真题体验典题演练提能4.(2018全国Ⅱ·20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.2-15-高考真题体验典题演练提能(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)解:如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.𝑂𝐵-16-高考真题体验典题演练提能由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),𝐴𝑃=(0,2,23).取平面PAC的法向量𝑂𝐵=(2,0,0),设M(a,2-a,0)(0a≤2),则𝐴𝑀=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由𝐴𝑃·n=0,𝐴𝑀·n=0得2𝑦+23𝑧=9,𝑎𝑥+(4-𝑎)𝑦=0.可取n=(3(a-4),3a,-a),所以cos𝑂𝐵,n=23(𝑎-4)23(𝑎-4)2+3𝑎2+𝑎2.由已知可得|cos𝑂𝐵,n|=32.-17-高考真题体验典题演练提能所以23|𝑎-4|23(𝑎-4)2+3𝑎2+𝑎2=32,解得a=-4(舍去),a=43.所以n=-833,433,-43.又𝑃𝐶=(0,2,-23),所以cos𝑃𝐶,n=34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.-18-高考真题体验典题演练提能1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC=120°.(1)证明:AD⊥A1B;(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.-19-高考真题体验典题演练提能(1)证明:取AD中点O,连接OB,OA1,BD,∵AA1=A1D,∴AD⊥OA1.又∠ABC=120°,AD=AB,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥OB,∴AD⊥平面A1OB.∵A1B⊂平面A1OB,∴AD⊥A1B.-20-高考真题体验典题演练提能(2)解:∵平面ADD1A1⊥平面ABCD,平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,又A1O⊥AD,∴A1O⊥平面ABCD,∴OA,OA1,OB两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,设AB=AD=A1D=2,则A(1,0,0),A1(0,0,3),B(0,3,0),D(-1,0,0).则𝐷𝐴1=(1,0,3),𝐷𝐶=𝐴𝐵=(-1,3,0),𝐵𝐴1=(0,-3,3),设平面A1B1CD的法向量n=(x,y,z),则𝑛·𝐶𝐷=𝑥-3𝑦=0,𝑛·𝐷𝐴1=𝑥+3𝑧=0,令x=3,则y=1,z=-1,可取n=(3,1,-1),设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ,则sinθ=|cosn,𝐵𝐴1|=𝑛·𝐵𝐴1|𝑛||𝐵𝐴1|=|-3-3|5·6=105.-21-高考真题体验典题演练提能2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.(1)证明:BE∥平面PAD;(2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.-22-高考真题体验典题演练提能(1)证明:设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以AB􀱀EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.(2)解:设G为AB的中点,因为AD=AB,∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形,故DG⊥AB;因为AB∥CD,所以DG⊥DC.又PD⊥平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.-23-高考真题体验典题演练提能以D为坐标原点,𝐷𝐺为x轴、𝐷𝐶为y轴、𝐷𝑃为z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则P(0,0,2),B(3,1,0),E(0,2,1),𝐷𝐸=(0,2,1),𝐷𝐵=(3,1,0),设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则𝑛·𝐷𝐸=0,𝑛·𝐷𝐵=0,即2𝑦+𝑧=0,3𝑥+𝑦=0.令y=1,则n=-33,1,-2.又𝑃𝐵=(3,1,-2),所以|cosn,𝑃𝐵|=|𝑛·𝑃𝐵||𝑛|·|𝑃𝐵|=64,即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为64.-24-高考真题体验典题演练提能3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.(1)证明:A1C∥平面DEF;(2)若A1C⊥EF,求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值.-25-高考真题体验典题演练提能(1)证明:如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1C∥DK,又A1C⊄平面DEF,DK⊂平面DEF,所以A1C∥平面DEF.-26-高考真题体验典题演练提能(2)解:由(1)知,EH∥AA1,因为AA1⊥平面ABC