（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题七 解析几何 7.4.1 直线与圆及圆锥曲线课件 文

7.4[压轴大题2]直线与圆锥曲线-2-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2015全国1求斜率的取值范围,求线段的长圆、斜率,点到直线的距离,向量的数量积圆方程思想全国2求椭圆方程,证明两直线斜率之积为定值椭圆、直线,斜率,一元二次方程椭圆方程思想-3-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2016全国1求线段长度之比,探索直线与曲线是否有公共点直线,抛物线,一元二次方程及根的判别抛物线方程思想全国2求三角形面积,证明斜率的取值范围椭圆、直线,三角形面积,函数零点及存在性定理椭圆方程思想,函数思想全国3证明平行,求轨迹方程抛物线、直线、斜率,三角形面积抛物线方程思想,解析法-4-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2017全国1求斜率,求直线的方程抛物线、斜率、导数、直线方程,两点的距离抛物线点差法,方程思想全国2求轨迹方程,证明直线过定点椭圆、直线、向量相等及向量数量积椭圆代换法,方程思想全国3探索两直线垂直,证明线段为定值抛物线、斜率、直线,圆抛物线,圆方程思想-5-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2018全国1求直线的方程;证明两角相等抛物线、直线方程、斜率抛物线方程思想,转化法全国2求直线的方程;求圆的方程抛物线、直线、圆抛物线转换法,方程思想全国3证明斜率小于某值,证明向量的模相等椭圆、斜率、直线、向量椭圆点差法,解析法-6-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2019全国1已知直线与圆相切、弦长求圆的半径,判断有关弦长的代数式是否为定值弦长公式,圆的方程,向量垂直,轨迹方程,抛物线的定义直线与圆、抛物线转化与化归思想、方程思想全国2求椭圆的离心率,已知两直线垂直、三角形的面积求参数或参数的取值范围椭圆的离心率,两直线垂直,三角形的面积椭圆,直线与椭圆转化与化归思想、方程思想全国3已知抛物线的切线证明直线过定点,已知直线与圆相切求圆的方程直线与抛物线相切,直线与圆相切,三角形的面积、圆的方程直线与圆、直线与抛物线转化与化归思想、方程思想-7-年份卷别设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法2019全国3已知抛物线的切线证明直线过定点,已知直线与圆相切、中点求四边形的面积直线与抛物线相切,直线过定点,直线与圆相切直线与抛物线、直线与圆转化与化归思想、换元法思想、函数与方程思想-8-一、直线与圆1.一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0;与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.2.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件:(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.-9-4.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.5.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条.(2)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.-10-二、圆锥曲线1.椭圆2.双曲线巧设双曲线方程在椭圆焦点三角形PF1F2中,∠F1PF2=α,则𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=b2tan𝛼2.(1)与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=t(t≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(mn0).-11-3.抛物线得结论①:y1y2=-p2.(2)如下图,直线AB过焦点F,∵2∠AMF+∠MAB+2∠BNF+∠NBA=360°,又∠MAB+∠NBA=180°,∴∠AMF+∠BNF=90°,∴∠MFN=90°.得结论②:∠MFN=90°⇔点F在以MN为直径的圆上.过抛物线y2=2px焦点F𝑝2,0)的弦AB隐含的几个结论(1)设A𝑦122𝑝,y1,B𝑦222𝑝,y2,AB过焦点F𝑝2,0⇔𝐹𝐴∥𝐹𝐵⇔𝑦122𝑝−𝑝2,y1∥𝑦222𝑝−𝑝2,y2⇔𝑦12𝑦22𝑝−𝑝2y2=𝑦1𝑦222𝑝−𝑝2y1⇔𝑦1𝑦2(𝑦1-𝑦2)2𝑝=𝑝2(y2-y1)⇔y1y2=-p2(y2≠y1).-12-(3)若E为线段MN的中点,点G为线段AB的中点,则|EG|=12|AB|,得结论③:点E在以AB为直径的圆上,∠AEB=90°.结论④:连接AN交x轴于点T,则T为原点O.证明如下:设|AF|=m,|BF|=n,|TF|=t,𝑡𝑛=𝑚𝑚+𝑛,t=𝑚𝑛𝑚+𝑛;𝑝-𝑡𝑚=𝑛𝑚+𝑛,p-t=𝑚𝑛𝑚+𝑛,所以p-t=t,t=𝑝2,则T为原点O.-13-4.圆锥曲线的弦长(1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为y-y0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a;(2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=1+𝑘2·|x1-x2|=1+1𝑘2|y1-y2|,如何求|x1-x2|,若x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,x1+x2=-𝑏𝑎,x1x2=𝑐𝑎,方法一:|x1-x2|=(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2;方法二:利用求根公式,|x1-x2|=-𝑏+𝛥2𝑎−-𝑏-𝛥2𝑎=𝛥|𝑎|.-14-5.处理中点弦问题常用的求解方法(1)已知AB是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵A,B都在椭圆上,则有𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1,两式相减得𝑥12-𝑥22𝑎2+𝑦12-𝑦22𝑏2=0,∴(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)𝑎2+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)𝑏2=0,∴𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑏2(𝑥1+𝑥2)𝑎2(𝑦1+𝑦2)=-𝑏2𝑥0𝑎2𝑦0,故kAB=-𝑏2𝑥0𝑎2𝑦0.-15-(2)已知AB是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则用点差法同理可得kAB=𝑏2𝑥0𝑎2𝑦0.(3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则𝑦12=2𝑝𝑥1,𝑦22=2𝑝𝑥2,两式相减得𝑦12−𝑦22=2p(x1-x2),∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),∴𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=2𝑝𝑦1+𝑦2=𝑝𝑦0,即kAB=𝑝𝑦0.-16-6.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切;过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切;过椭圆内一点的直线与椭圆相交.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线;过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线;过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线.-17-(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和另两条与渐近线平行的直线;过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和另两条与渐近线平行的直线;过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线.-18-三、圆锥曲线中常见的最值、范围、证明问题1.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.-19-2.圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法(1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决.-20-3.圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.常用的证明方法有:(3)证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上.(1)证A、B、C三点共线,可证kAB=kAC或𝐴𝐵=λ𝐵𝐶;(2)证直线MA⊥MB,可证kMA·kMB=-1或𝑀𝐴·𝑀𝐵=0;-21-四、圆锥曲线中的定点、定值、存在探索性问题1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.-22-3.解决存在探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.7.4.1直线与圆及圆锥曲线-24-考向一考向二考向三求轨迹方程例1(2019全国卷2,理21节选)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)略.12解(1)由题设得𝑦𝑥+2·𝑦𝑥-2=-12,化简得𝑥24+𝑦22=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)略.-25-考向一考向二考向三解题心得1.如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,设出动点坐标,直接利用等量关系建立x,y之间的关系F(x,y)=0,就得到轨迹方程.2.若动点的轨迹符合某已知曲线的定义,可直接设出相应的曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数,从而求出轨迹方程.-26-考向一考向二考向