（全国通用）2020高考数学 艺体生文化课 第七章 数列 第4节 数列求和课件

第七章数列第4节数列求和知识梳理数列求和常用方法:1.公式法:直接用等差、等比数列的求和公式求和.2.裂项相消法:(常见形式)221111111(1)111111()41(21)(21)22121111111{}()12(1)11(1)2(11;2;31;4,;5)2(22.1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaadaannnnnnnannnn如果为等差数列则有3.错位相减法:若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则求{an·bn}的前n项的和时,用错位相减法.例如:Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn.(将上式两边乘数列{bn}的公比q,再相减.)4.分组求和法:常见形式:当数列cn=an+bn,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则可以用分组求和法求数列{cn}的前n项和.精选例题【例1】(裂项相消法)(2013新课标卷)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.(1)求{an}的通项公式;1711199111,1,4641,,1,(){.2182(8}()})1{2.2nnnnadaandaadadaaadadnaa【解析】　设等差数列的公差为则因为所以解得所以的通项公式为【例1】(裂项相消法)(2013新课标卷)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.()()[()1111222,(1)11111111112211223()()()]34112.1()nnnbnannnnSnnnnn所以1nna【例2】(错位相减法)(2014新课标Ⅰ卷)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的两根.(1)求{an}的通项公式;22442115602,3,2,3,13,2(){},,,2211.{2}nnnxxaaadaaddaaan【解析】　方程的两个根为由题意得设数列的公差为则故从而所以的通项公式为【例2】(错位相减法)(2014新课标Ⅰ卷)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的两根.(2)求数列的前n项和.12313412341212122{},1,2223412,222213412,2222213111231121,24()()(2222442242.2)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaannSnnSnnSnnSnS设的前项和为由知则①②①②得所以{}2nna【例3】(分组求和法)求数列的前n项和.2342321111111111,22,33,44,2242821621111 12342()()()22211[1()](1)11222.122212nnnnSnnnnn【解析】　因为11111,2,3,4,...24816专题训练1.(公式法)(2019肇庆)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，S6=27.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=2an，记Tn为数列{bn}的前n项和．若Tm=124，求m．1111124(){}615272  1  (1)11nnadaadadaaandnd设的首项为，公差为，由已知得，解得．所】　以【解析．1(2)(1)24(12){}424(21)121244(21)1245nnnnnnmmbbTTm由可得，是首项为，公比为的等比数列，则．由，得，解得．1.(公式法)(2015重庆)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}前n项和Tn.921415341151211,8,2,8,2,1(12)21.1()(){}{}2nnnnnbbabbqqqbbnT由得到设公比为则所以前项和2.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数f(x)=2x的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;1111111111111,2.2,1,2,2,:2,222212,2(1()()()()121.)),2(2xnnnnnnnnnnnnnnnSfxSnSanSaSSnnaan【解析】　因为点均在函数的图象上所以①当时当时有②①②得检验时2.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数f(x)=2x的图象上.(2)记bn=log2an,求1222446682222log,log21,211111111133557(21)(21)1111111()[()(111.23352121221)((21)])nnnnnnnbabnnTbbbbbbbbnnnnnnn因为所以2446682221111....nnnTbbbbbbbb1135132301210,5.,5(415522.)nadaSSdadan【解析】　因为所以解得所以3.(裂项相消法)(2013新课标Ⅰ卷,文)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;212111111()()[()()()()(2,(21)(23)2232111111111111233557232111)1.2(11])22nnnaannnnSnnnnn因为所以3.(裂项相消法)(2013新课标Ⅰ卷,文)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(2)求数列的前n项和.21211{}nnaa211212211,21,1,(1)(1)2,,2(1)(1)221):).((nnnnnnnSnaSnnnSnnnnSSann【解析】　因为①当时当时②①②得到整理得到时也成立4.(2014湖南,文)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;22nn212321122332212321232123222121,.2112122()()()[()][()][()][()]()[()()()()]()[()(1321222221112131222221234)(5nannnnnnnnnnnnbanTbbbbnn因为所以2212)(())]2(12)6212,1222.nnnnnnTn所以4.(2014湖南,文)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.22nn5.(错位相减法)(2014安徽,文)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;1111:11,11,1,11{}()()()1)(.nnnnnnnnanannaaaannnnnnadn【解析】　证明两边同时除以得所以是公差为的等差数列{}nan5.(错位相减法)(2014安徽,文)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(2)设,求数列{bn}的前n项和Sn.211232341123112111,111,.133,1323333,3,31323333,21313131333(13)()()()(213,13()nnnnnnnnnnnnnnnnnaaanannannnbnSnSnSnnnS由可知得所以所以①两边乘以公比得②再两式相减得到所以1)33.4n3nnnba6.(2013江西,文)正项数列{an}满足an2-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列{an}的通项公式;2()(12120210,?)(21,(,0.)2)nnnnnnnnanananaanaaan【解析】　由得所以或6.(2013江西,文)正项数列{an}满足an2-(2n-1)an-2n=0.(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.()()[(1111111)()()2,,(1)(1)22(1)21111111111()]()111,2122334121.2(1)nnnnnbbnannnnnnTnnnnTn所以1(1)nnbna7.(2018濮阳一模)已知数列{an}是等差数列,a1=t2-t,a2=4,a3=t2+t.(1)求数列{an}的通项公式;22211128,2,2,2,2,2;2,6,2,82.()nntttttttadantadan【解析】　由题意得所以时公差所以时公差所以7.(2018濮阳一模)已知数列{an}是等差数列,a1=t2-t,a2=4,a3=t2+t.(2)若数列{an}为递增数列,数列{bn}满足log2bn=an,求数列{(an-1)bn}的前n项和Sn.22312341231212,2,log2,4,1214,14345423?421?4,414345423?421?4,3424242421?4(){}()()()(4(14)423)()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnaanbnbabnSnnSnnSn若数列为递增数列则所以所以所以11120(65)4214,3(65)420.)9(nnnnnnnS所以211111221111111()1243430322243434()()2()02{}32211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaSaaanaaaaSSaaaaaaaaaaaan【解当时，，因为，所以，当时，，即，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数以】列所　，析.8.(2015新课标Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和,已知an0,an2+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式：8.(2015新课标Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和,已知an0,an2+2an=4Sn+3.(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和．121111()(1)()(21)(23)22123{}1111111()()()23557212311.646629nnnbnnnnbnbbbnnnnn由知，，所以数列前项和为：11.nnaa1212122323111111,44,,()()128(){}()41,,21.()(2)82nnadaaaaaaaaaaaadaanadadd【解析】　设等差数列的公差为由已知得即所以解得所以9.(错位相减法)(2017惠州三模)已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N*).(