（柳州专版）2020版中考数学夺分复习 第一篇 考点过关 第四单元 三角形 课时20 直角三角形与勾

第四单元三角形课时20直角三角形与勾股定理关键词直角三角形的性质直角三角形的判定高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一直角三角形的性质1.直角三角形的两个锐角①.2.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于②.3.直角三角形③等于斜边的一半.4.勾股定理:直角三角形两直角边长a,b的平方和等于斜边长c的平方,即④.互余斜边的一半斜边上的中线a2+b2=c2高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.常见的勾股数:(1)(3,4,5),(6,8,10),…,(3n,4n,5n)(n是正整数);(2)(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),……(3)(8,15,17),(12,35,37),……高频考向探究考题回归教材基础知识巩固6.勾股定理的探索过程(1)赵爽弦图如图20-1,∵大正方形的面积c2=4×12ab+(a-b)2=a2+b2,∴a2+b2=c2.图20-1高频考向探究考题回归教材基础知识巩固(2)詹姆斯·加菲尔德总统拼图如图20-2,设梯形的面积为S,则S=12(a+b)(a+b)=12a2+12b2+ab.又∵S=12ab+12ab+12c2=12c2+ab,∴a2+b2=c2.(3)毕达哥拉斯拼图由图20-3①得大正方形的面积为c2+4×12ab,由图②得大正方形的面积为a2+b2+4×12ab,∴a2+b2=c2.图20-2图20-3高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点二直角三角形的判定1.有一个角是⑤的三角形是直角三角形.2.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.3.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c(c为最大边长)有关系⑥,那么这个三角形是直角三角形.直角a2+b2=c2高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点三互逆命题、互逆定理将一个命题的题设和结论交换位置得到一个新的命题,这两个命题是互逆的命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个命题就是它的逆命题.如果原命题是定理,它的逆命题也成立,那么这个逆命题可以叫做这个定理的逆定理.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.已知:如图20-4,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里D图20-4高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.图20-5中字母A所代表的正方形的面积为(图中数据表示它所在正方形的面积)()A.4B.8C.16D.64D[解析]根据勾股定理以及正方形的面积公式知,以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积,所以SA=289-225=64.图20-5高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.[2019·益阳]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形B[解析]如图所示,∵AM=MN=2,NB=1,∴AB=AM+MN+NB=2+2+1=5,AC=AN=AM+MN=2+2=4,BC=BM=BN+MN=1+2=3,∴AB2=52=25,AC2=42=16,BC2=32=9,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.在等腰三角形ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,则BC边上的高AD=.4cm[解析]根据题意画出图形,根据勾股定理即可得出结论.如图所示,∵在等腰三角形ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,∴BD=3cm.∴AD=𝐴𝐵2-𝐵𝐷2=52-32=4(cm).高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.一木工师傅做了一个长方形桌面,量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线长为68cm,则这个桌面.(填“合格”或“不合格”)合格[解析]只要算出桌面的长、宽、对角线长是否符合勾股定理即可.因为602+322=68,故这个桌面合格.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固6.如图20-6,是一块地的示意图.已知AD=8m,CD=6m,∠ADC=90°,AB=26m,BC=24m,则这块地的面积为m2.96图20-6[解析]连接AC.∵CD=6m,AD=8m,∠ADC=90°,∴AC=62+82=10(m).∵AB=26m,BC=24m,102+242=262,即AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.∴四边形ABCD的面积=S△ABC-S△ACD=12×10×24-12×6×8=96(m2).高频考向探究考题回归教材基础知识巩固7.[2019·宜宾]如图20-7,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=.[解析]在Rt△ABC中,AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=5,由相似易得,AC2=AD·AB,∴AD=𝐴𝐶2𝐴𝐵=165.图20-7𝟏𝟔𝟓高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】受思维定式影响未分类讨论.题组二易错题8.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为()A.13B.13或119C.13或15D.15B高频考向探究考题回归教材基础知识巩固9.下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()A.1,2,3B.32,42,52C.1,2,3D.3,4,5C10.在△ABC中,AB=10,AC=210,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于.6或10高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一直角三角形的性质例1[2019·株洲]如图20-8所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点.若EF=1,则AB=.图20-84[解析]因为Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,所以AB=2CM,又因为E,F分别为MB,BC的中点,所以EF为中位线,所以CM=2EF,从而AB=4EF=4.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例2如图20-9所示,AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高,G是AB的中点,GF⊥DE,求证:DF=FE.图20-9证明:连接DG,GE.∵AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高,∴∠ADB=∠AEB=90°.∵G是AB的中点,∴DG=12AB,GE=12AB,∴DG=GE.∵GF⊥DE,∴DF=FE.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材【方法点析】在直角三角形中,有斜边中点时常连接直角顶点与斜边上的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证题.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1如图20-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为()A.1B.2C.3D.4A图20-10[解析]由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°,再由直角三角形的性质求解.∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠B=∠DAB.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB,∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°,∴∠CAD=30°,∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC,∴CD=DE=12BD.∵BC=3,∴CD=DE=1.故选A.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺按如图20-11所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=.图20-11𝟔−𝟐高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]在等腰直角三角形ABC中,∵AB=2,∴BC=22,过点A作AM⊥BD于点M,则AM=MC=12BC=2,在Rt△AMD中,AD=BC=22,AM=2,∴MD=6,∴CD=MD-MC=6−2.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二勾股定理例3在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=5,AC=12,则AB=.13高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2016·柳州]如图20-12,在△ABC中,∠C=90°,则BC=.4图20-12精练2直角三角形的两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为.𝟔𝟎𝟏𝟑高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[2019·毕节]如图20-13,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为()A.3B.3C.5D.5B图20-13[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∴BC2=EC2-EB2=22-12=3,∴正方形ABCD的面积=BC2=3.故选B.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练4[2019·郴州]我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图20-14所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是()A.2B.2C.3D.4图20-14B高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]设正方形ADOF的边长为x,则AB=4+x,AC=6+x,BC=10,由于∠A=90°,所以BC2=AB2+AC2,即100=16+8x+x2+36+12x+x2,解得x=2或x=-12(不合题意,舍去),故选B.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练5已知Rt△ABC中,∠C=90°,若BC∶AC=3∶4,AB=10cm,则Rt△ABC的面积是.24cm2高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向三勾股定理的逆定理例4下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17D高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1下列三角形:①△ABC中,∠C=∠A-∠B;②△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③△ABC中,a∶b∶c=3∶4∶5;④△ABC中,三边长分别为9,40,41.其中是直角三角形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个D高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2已知a,b,c为△ABC的三边,且满足(a2-b2)·(a2+b2-c2)=0,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形D高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[八下P34习题17.2第5题改编]如图20-15,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,则四边形ABCD的面积是.36图20-15[解析]在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,根据勾股定理,得AC=5,∴S△ABC=12AB·BC=12×4×3=6.在△ACD中,AC=5,AD=13,CD=12,∵AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD为直角三角形,∴S△ACD=12AC·CD=12×5×12=30,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向四勾股定理的综合应用例5如图20-16,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处.已知CE=3,AB=8,求BF的值.图20-16解:由折叠的性质,知AD=AF,DE=EF=8-3=5.在Rt△CEF中,EF=5,CE=3,由勾股定理,可得CF=4.设AD=AF=x,则BC=x,BF=x-4.在Rt△ABF中,由勾股定理,可得82+(x-4)2=x2.解得x=10.故BF=x-4=6.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1如图20-17,将矩形ABCD沿EM折叠,使顶点B恰好落在CD边的中点N上,若AB=6,AD=9,则五边形ABMND的周长为()A.28B.26C.25D.2