例谈放缩法证明不等式的基本策略

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略江苏省苏州市木渎第二高级中学母建军215101近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点,有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().nnanN求证：*122311...().23nnaaannNaaa证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)23.222232kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa*122311...().232nnaaannnNaaa若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=xx414，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）n+)(2121*1Nnn.证明：由f(n)=nn414=1-1111422nn得f（1）+f（2）+…+f（n）n22112211221121)(2121)2141211(41*11Nnnnnn.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n，求证：∑nk=1ka2k＜3．证明：∑nk=12kka=∑nk=131k＜1＋∑nk=21(k－1)k(k＋1)＜１＋∑nk=22(k－1)(k＋1)(k＋1＋k－1)=2111(1)(1)nkkkkk=1＋∑nk=2(1(k－1)－1(k＋1))=1＋1＋22－1n－1(n＋1)＜2＋22＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列{}na满足2111,0,2nnaaa求证：1211().32nkkkkaaa证明22112131110,,,.2416nnaaaaaa2311,0,16kkaa当时1211111111()()().161632nnkkkkknkkaaaaaaa本题通过对因式2ka放大，而得到一个容易求和的式子11()nkkkaa，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设)1(433221nnan求证：2)1(2)1(2nannn证明：∵nnnn2)1(212)21()1(2nnnn∴212)1(nnnn∴2)12(31321nann，∴2)1(2)1(2nannn本题利用21(1)2nnnn，对na中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：2222111171234n证明：21111(1)1nnnnn2222211111111151171()().1232231424nnnn此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知54nan，证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立.证明：要证51mnmnaaa，只要证512mnmnmnaaaaa.因为54mnamn，(54)(54)2520()16mnaamnmnmn，故只要证5(54)12520()162mnmnmnmnaa，即只要证2020372mnmnaa.因为2558mnmnaaaamn558(151529)mnmn202037mn，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2mnmnaaaa放大即可.8、先适当组合,排序,再逐项比较或放缩例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niAim＜miAin；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim=m·…·(m－i+1)，ninnnnnnmimmmmmmiimiim11A,11A同理，由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有mkmnkn，所以imiiniiimiinnmmnAA,AA即(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+C1nm+C2nm2+…+Cnnmn，(1+n)m=1+C1mn+C2mn2+…+Cmmnm，由(1)知miAin＞niAim(1＜i≤m＜n)，而Cim=!AC,!Aiiininim∴miCin＞niCim(1＜m＜n)∴m0C0n=n0C0n=1，mC1n=nC1m=m·n，m2C2n＞n2C2m，…，mmCmn＞nmCmm，mm+1C1mn＞0，…，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+…+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+…+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.