（江西专版）2020中考数学复习方案 题型突破05 二次函数综合题课件

题型突破(五)二次函数综合题类型一与规律有关的二次函数问题（2019,23/2018,23/2016,23/2014,24/2013,24）抛物线中的规律探究性问题通常在题中字母的下标出现字母n或有序号一类二次函数问题,当然也有时是在某一条件下所产生一系列二次函数,这一系列抛物线所产生某些数学结论就是这类题所要解决的问题.解决这类问题应遵循从特殊到一般的思维方法,也就是从简单的情况出发探究抛物线上关键点满足的规律,然后归纳一般情况.例1[2019·江西23题][特例感知](1)如图Z5-1①,对于抛物线y1=-x2-x+1,y2=-x2-2x+1,y3=-x2-3x+1,下列结论正确的序号是.①抛物线y1,y2,y3都经过点C(0,1);②抛物线y2,y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位长度得到;③抛物线y1,y2,y3与直线y=1的交点中,相邻两点之间的距离相等.[形成概念](2)把满足yn=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.图Z5-112[知识应用]在(2)中,如图②.①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,…,Pn,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标,并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式.②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:C1,C2,C3,…,Cn,其横坐标分别为-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等.若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由.③在②中,直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A1,A2,A3,…,An,连接CnAn,Cn-1An-1,判断CnAn,Cn-1An-1是否平行,并说明理由.图Z5-1【分层分析】(1)首先仔细观察题中所给的三个抛物线解析式的系数,由系数意义和抛物线顶点坐标不难解决问题.解:(1)对于抛物线y1=-x2-x+1,y2=-x2-2x+1,y3=-x2-3x+1来说,抛物线y1,y2,y3都经过点C(0,1),∴①正确;∵抛物线y1,y2,y3的对称轴分别为x1=--12×(-1)=-12,x2=--22×(-1)=-1,x3=--32×(-1)=-32,∴抛物线y2,y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移12个单位长度得到,∴②正确;∵抛物线y1,y2,y3与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为-1,-2,-3,∴抛物线y1,y2,y3与直线y=1的交点中,相邻两点之间的距离相等,∴③正确.故答案为①②③.例1[2019·江西23题][形成概念](2)把满足yn=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.[知识应用]在(2)中,如图②.①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,…,Pn,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标,并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式.图Z5-1【分层分析】(2)①将解析式化成顶点式后,消去n便可解决问题;(2)①由yn=-x2-nx+1可知,顶点坐标为Pn-𝑛2,𝑛2+44,∴该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为y=𝑛2+44=(-2𝑥)2+44=x2+1.例1[2019·江西23题][形成概念](2)把满足yn=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.[知识应用]在(2)中,如图②.②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:C1,C2,C3,…,Cn,其横坐标分别为-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等.若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由.图Z5-1【分层分析】(2)②要求Cn-1Cn的长,必须先求出Cn-1,Cn的坐标,由(xn-1-xn)和(yn-1-yn)为直角边构成直角三角形求出Cn-1Cn的长;解：②相邻两点之间的距离都相等,且距离为1+𝑘2.[解析]当横坐标分别为-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k为正整数)时,对应的纵坐标为-k2-k+1,-k2-2k+1,-k2-3k+1,…,-k2-nk+1,∴C1C2=[(-𝑘-1)-(-𝑘-2)]2+[(-𝑘2-𝑘+1)-(-𝑘2-2𝑘+1)]2=(-𝑘-1+𝑘+2)2+(-𝑘2-𝑘+1+𝑘2+2𝑘-1)2=1+𝑘2,C2C3=[(-𝑘-2)-(-𝑘-3)]2+[(-𝑘2-2𝑘+1)-(-𝑘2-3𝑘+1)]2=(-𝑘-2+𝑘+3)2+(-𝑘2-2𝑘+1+𝑘2+3𝑘-1)2=1+𝑘2,……Cn-1Cn={[-𝑘-(𝑛-1)]-(-𝑘-𝑛)}2+{[-𝑘2-(𝑛-1)𝑘+1]-(-𝑘2-𝑛𝑘+1)}2=(-𝑘-𝑛+1+𝑘+𝑛)2+[-𝑘2-(𝑛-1)𝑘+1+𝑘2+𝑛𝑘-1]2=1+𝑘2,∴相邻两点之间的距离都相等,且距离为1+𝑘2.例1[2019·江西23题][形成概念](2)把满足yn=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.[知识应用]在(2)中,如图②.③在②中,直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A1,A2,A3,…,An,连接CnAn,Cn-1An-1,判断CnAn,Cn-1An-1是否平行,并说明理由.图Z5-1【分层分析】(2)③分别求出直线CnAn,直线Cn-1An-1的k便可解决问题.③不平行.理由:将y=1代入yn=-x2-nx+1可得-x2-nx+1=1,∴x=-n(x=0舍去),∴点A1(-1,1),A2(-2,1),A3(-3,1),…,An(-n,1).∵当横坐标分别为-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k为正整数)时,对应的纵坐标为-k2-k+1,-k2-2k+1,-k2-3k+1,…,-k2-nk+1,∴点C1(-k-1,-k2-k+1),C2(-k-2,-k2-2k+1),C3(-k-3,-k2-3k+1),…,Cn(-k-n,-k2-nk+1).设CnAn,Cn-1An-1的解析式分别为y=px+q,y=ax+b,则-𝑛𝑝+𝑞=1,(-𝑘-𝑛)𝑝+𝑞=-𝑘2-𝑛𝑘+1,-(𝑛-1)𝑎+𝑏=1,[-𝑘-(𝑛-1)]𝑎+𝑏=-𝑘2-(𝑛-1)𝑘+1,解得p=k+n,a=k+n-1,∴p≠a,∴CnAn,Cn-1An-1不平行.|题型精练|1.[2018·江西样卷]抛物线C:y=12x[a(x-1)+x+1](a为任意实数).(1)无论a取何值,抛物线C恒过定点.(2)当a=1时,设抛物线C在第一象限依次经过的整数点(横、纵坐标均为整数的点)为A1,A2,…,An.将抛物线C沿着直线y=x(x≥0)平移,平移后的抛物线记为Cn,抛物线Cn经过点An,Cn顶点坐标为Mn(n为正整数且n=1,2,…,n,如n=1时,抛物线C1经过点A1,抛物线C1的顶点坐标为M1).图Z5-2(0,0),(1,1)①抛物线C2的解析式为,顶点坐标为.②在抛物线C1上是否存在点P,使得PM1∥A2M2,若存在,求出点P的坐标,并判断四边形PM1M2A2的形状,若不存在,请说明理由.③直接写出Mn-1,Mn两顶点间的距离.图Z5-21.[2018·江西样卷]抛物线C:y=12x[a(x-1)+x+1](a为任意实数).(2)当a=1时,设抛物线C在第一象限依次经过的整数点(横、纵坐标均为整数的点)为A1,A2,…,An.将抛物线C沿着直线y=x(x≥0)平移,平移后的抛物线记为Cn,抛物线Cn经过点An,Cn顶点坐标为Mn(n为正整数且n=1,2,…,n,如n=1时,抛物线C1经过点A1,抛物线C1的顶点坐标为M1).①抛物线C2的解析式为,顶点坐标为.图Z5-2y=(x-3)2+3或y=x2-6x+12(3,3)1.[2018·江西样卷]抛物线C:y=12x[a(x-1)+x+1](a为任意实数).(2)当a=1时,设抛物线C在第一象限依次经过的整数点(横、纵坐标均为整数的点)为A1,A2,…,An.将抛物线C沿着直线y=x(x≥0)平移,平移后的抛物线记为Cn,抛物线Cn经过点An,Cn顶点坐标为Mn(n为正整数且n=1,2,…,n,如n=1时,抛物线C1经过点A1,抛物线C1的顶点坐标为M1).②在抛物线C1上是否存在点P,使得PM1∥A2M2,若存在,求出点P的坐标,并判断四边形PM1M2A2的形状,若不存在,请说明理由.图Z5-2②假设在抛物线C1上存在点P,使得PM1∥A2M2,作M2M⊥x轴,M1M∥x轴,M2M,M1M交于点M.由①知:M1(1,1),M2(3,3),A2(2,4).由勾股定理可得M1𝑀22=(3-1)2+(3-1)2=8,∴M1M2=8.同理可得:A2𝑀12=(1-2)2+(1-4)2=10,∴A2M1=10.A2𝑀22=(3-2)2+(3-4)2=2,∴A2M2=2.∴A2𝑀22+M1𝑀22=A2𝑀12,∴△A2M1M2是直角三角形,∠A2M2M1=90°.过点M1作直线y=x的垂线交y轴于点P1.∵∠P1OM1=45°,∴△P1OM1是等腰直角三角形,∴P1(0,2).∵P1(0,2)也在抛物线C1上,∴点P和P1重合,且满足PM1∥A2M2,即在抛物线C1上存在点P使得PM1∥A2M2,∴P(0,2).易知PM1=2.∵A2M2=2,∴PM1=A2M2.又∵PM1∥A2M2,∴四边形PM1M2A2为平行四边形.∵∠A2M2M1=90°,∴四边形PM1M2A2为矩形.1.[2018·江西样卷]抛物线C:y=12x[a(x-1)+x+1](a为任意实数).(2)当a=1时,设抛物线C在第一象限依次经过的整数点(横、纵坐标均为整数的点)为A1,A2,…,An.将抛物线C沿着直线y=x(x≥0)平移,平移后的抛物线记为Cn,抛物线Cn经过点An,Cn顶点坐标为Mn(n为正整数且n=1,2,…,n,如n=1时,抛物线C1经过点A1,抛物线C1的顶点坐标为M1).③直接写出Mn-1,Mn两顶点间的距离.图Z5-2③Mn-1Mn=22.2.如图Z5-3,已知抛物线y=-x2通过平移后得到y1=-(x-1)2+2,y2=-(x-2)2+4,y3=-(x-3)2+6,…,平移后的顶点P1,P2,P3,…,Pk(k为整数)依次都在格点上,这些抛物线称为“好顶点抛物线”.(1)写出平移后抛物线yk的解析式(用k表示).(2)若平移后的抛物线yk与抛物线y=-x2交于点F,其对称轴与抛物线y=-x2交于点E,若tan∠FPkE=13,求整数k的值.(3)已知-6≤k≤6,若平移后抛物线的对称轴与x轴交于点Ak,以AkPk为边向右作正方形AkPkBkCk,判断:正方形的顶点Bk是否恰好是其他“好顶点抛物线”上的点?若恰好是,求出该整数k的值;若不存在,请说明理由.图Z5-3解:(1)∵抛物线y=-x2通过平移后得到y1=-(x-1)2+2,y2=-(x-2)2+4,y3=-(x-3)2+6,…,∴yk=-(x-k)2+2k.2.如图Z5-3,已知抛物线y=-x2通过平移后得到y1=-(x-1)2+2,y2=-(x-2)2+4,y3=-(x-3)2+6,…,平移后的顶点P1,P2,P3,…,Pk(k为整数)依次都在格点上,这些抛物线称为“好顶点抛物线”.(2)若平移后的抛物线yk与抛物线y=-x2交于点F,其对称轴与抛物线y=-x2交于点E,若tan∠FPkE=13,求整数k的值.图Z5-3(2)如图,过点F作FG⊥PkE,垂足为G.由yk=-(x-k)2+2k可知顶点Pk(k,2k),对称轴为x=k,对称轴与抛物线y=-x2的交点为E(k,-k2).由𝑦=-𝑥2,𝑦=-(𝑥-𝑘)2+2𝑘,解得𝑥=𝑘-22,𝑦=-(𝑘-2)24,∴F𝑘-22,-(𝑘-2)24.∵tan∠FPkE=13,∴𝐹𝐺𝑃𝑘𝐺=13,即𝑘-𝑘-222𝑘+