（江西专版）2020中考数学复习方案 第六单元 圆 第24课时 圆的有关概念与性质课件

单元思维导图第24课时圆的有关概念与性质【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测垂径定理及其推论2017、21(1)、3分解答题★★★★2016、18(1)、4分解答题2015、17(1)、3分解答题圆周角定理及其推论2015、10、3分填空题★★★2014、12、3分填空题基础知识巩固高频考向探究1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做①,线段OA叫做②.2.圆的对称性:圆既是③对称图形,又是④对称图形,圆还具有旋转不变性.3.确定圆的条件:不在⑤点确定一个圆.考点一圆的有关概念及性质考点聚焦圆心半径轴中心同一条直线上的三个基础知识巩固高频考向探究概念弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.大于半圆的弧叫⑥,小于半圆的弧叫⑦弦连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做⑧圆心角顶点在圆心的角圆周角顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角4.圆的有关概念优弧劣弧直径基础知识巩固高频考向探究考点二圆心角、弧、弦之间的关系弧弦定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的⑨相等,所对的⑩也相等推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等基础知识巩固高频考向探究垂径定理垂直于弦的直径⑪,并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径⑫于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的⑬经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧总结简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立考点三垂径定理及其推论平分弦垂直垂直平分线基础知识巩固高频考向探究圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭常见图形推论1同弧或等弧所对的圆周角⑮推论2半圆(或直径)所对的圆周角是⑯,90°的圆周角所对的弦是⑰考点四圆周角定理及其推论一半相等直角直径基础知识巩固高频考向探究圆内接四边形的对角⑱.考点五圆内接四边形的性质互补[拓展]圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图24-1,∠ABE=∠D.图24-1基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2019·兰州]如图24-2,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=40°,则∠C=()A.110°B.120°C.135°D.140°D图24-2基础知识巩固高频考向探究2.[2019·吉林]如图24-3,在☉O中,𝐴𝐵所对的圆周角∠ACB=50°,若P为𝐴𝐵上一点,∠AOP=55°,则∠POB的度数为()A.30°B.45°C.55°D.60°图24-3B基础知识巩固高频考向探究图24-43.[2019·黄冈]如图24-4,一条公路的转弯处是一段圆弧(𝐴𝐵),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40m,点C是𝐴𝐵的中点,点D是AB的中点,且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为()A.25mB.24mC.30mD.60m[答案]A[解析]连接OD.由垂径定理可知O,C,D三点在同一条直线上,OC⊥AB.设圆的半径为r,则OC=OA=r,AD=20m,OD=OC-CD=r-10.在Rt△ADO中,由勾股定理知,r2=202+(r-10)2,解得r=25m.基础知识巩固高频考向探究图24-54.如图24-5,AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,垂足为D,若☉O的半径为5,BC=8,则AB的长为()A.8B.10C.43D.45[答案]D[解析]连接OB.∵AO⊥BC,直线AO过O,BC=8,∴BD=CD=4,∠BDO=90°.由勾股定理得,OD=𝐵𝑂2-𝐵𝐷2=52-42=3,∴AD=OA+OD=5+3=8.在Rt△ADB中,由勾股定理得AB=82+42=45.基础知识巩固高频考向探究5.[2010·江西15题]如图24-6,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为.图24-6(6,0)基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】对弦、弧、直径、半圆等概念理解不清;注意一条弦所对的圆周角有相等和互补两种情况;利用垂径定理时,易忽视弦在圆中的不同位置而造成漏解.6.下列说法错误的是()A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧B7.一条弦把圆分成1∶5两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是.30°或150°基础知识巩固高频考向探究8.[2018·孝感]已知☉O的半径为10cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是cm.基础知识巩固高频考向探究[答案]2或14[解析]分两种情况:如图①,当弦AB和CD在圆心的同侧时,过点O作OF⊥CD于点F,交AB于点E.∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=12AB=8cm,CF=12CD=6cm.根据勾股定理,得OE=𝐴𝑂2-𝐴𝐸2=102-82=6(cm),OF=𝐶𝑂2-𝐶𝐹2=102-62=8(cm).∴EF=OF-OE=8-6=2(cm).基础知识巩固高频考向探究如图②,当弦AB和CD在圆心的异侧时,过点O作OF⊥CD于点F,FO的延长线交AB于点E.∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=12AB=8cm,CF=12CD=6cm,根据勾股定理,得OE=𝐴𝑂2-𝐴𝐸2=102-82=6(cm),OF=𝐶𝑂2-𝐶𝐹2=102-62=8(cm).∴EF=OE+OF=8+6=14(cm).综上,两弦之间的距离是2cm或14cm.基础知识巩固高频考向探究考向一垂径定理及其推论图24-7例1如图24-7,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,且AB=10,AC=8,则BD的长为()A.25B.4C.213D.4.8C基础知识巩固高频考向探究【方法点析】利用垂径定理进行证明或计算,通常是在由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形中,利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·南昌八一中学联考]在☉O中,P为其内一点,过点P的最长弦的长为8cm,最短的弦的长为4cm,则OP的长为()A.23cmB.22cmC.2cmD.1cm[答案]A[解析]如图所示,CD⊥AB于点P.根据题意,得AB=8cm,CD=4cm.∵CD⊥AB,∴CP=12CD=2cm.根据勾股定理,得OP=𝑂𝐶2-𝐶𝑃2=23(cm).故选A.基础知识巩固高频考向探究图24-8[答案]D2.如图24-8,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=30°,OD=2,那么DC的长等于()A.2B.4C.3D.23[解析]如图,连接OC,设AB交CD于E.∵AB⊥CD,AB是☉O的直径,∴EC=DE.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COE=60°,∴EC=OC·sin60°=3,∴CD=2DE=23.基础知识巩固高频考向探究图24-93.[2019·德州]如图24-9,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,𝐴𝐵=𝐵𝐹,CE=1,AB=6,则弦AF的长度为.[解析]连接OA,OB,OB交AF于G,如图.由垂径定理得AE=BE=3.设☉O的半径为r,则OE=r-1,OA=r,在Rt△AOE中,AE2+OE2=OA2,即32+(r-1)2=r2,解得r=5.由𝐴𝐵=𝐵𝐹得OB⊥AF,AG=FG,则AG2+OG2=52,AG2+(5-OG)2=62,两式联立解得AG=245,AF=2AG=485.[答案]485基础知识巩固高频考向探究考向二圆周角定理及其推论例2[2019·陕西]如图24-10,AB是☉O的直径,EF,EB是☉O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是()A.20°B.35°C.40°D.55°图24-10[答案]B[解析]连接FB.∵∠AOF=40°,∴∠FOB=180°-40°=140°,∴∠FEB=12∠FOB=70°.∵EF=EB,∴∠EFB=∠EBF=55°.∵FO=BO,∴∠OFB=∠OBF=20°,∴∠EFO=∠EFB-∠OFB=35°.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】求圆中角度时,若已知圆心角,找该圆心角所对的弧,再找该弧所对的圆周角,也可以借助等腰三角形(圆的半径相等可构成等腰三角形),或直角三角形(直径所对的圆周角为直角)的性质计算角度.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2015·江西9题]如图24-11,点A,B,C在☉O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为.图24-11[答案]110°[解析]∵∠A=50°,∴∠BOC=2∠A=100°,∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°.∴∠ADC=180-70°=110°.基础知识巩固高频考向探究图24-122.[2014·江西12题]如图24-12,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=23,则∠BAC的度数为.[答案]60°[解析]如图所示,连接BO并延长交☉O于点D,连接CD,则BD=2AO=4,∠BDC=∠BAC.由BD为☉O的直径,得∠BCD=90°.在Rt△BCD中,sinD=𝐵𝐶𝐵𝐷=234=32,所以∠D=60°,所以∠BAC=60°.基础知识巩固高频考向探究图24-133.[2019·南昌一模]如图24-13,A,B,C,D四个点均在☉O上,∠AOB=40°,弦BC长等于半径,则∠ADC的度数等于()A.50°B.49°C.48°D.47°[答案]A[解析]连接OC.由题意得,OB=OC=BC,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC=60°.∵∠AOB=40°,∴∠AOC=100°,由圆周角定理得,∠ADC=12∠AOC=50°.基础知识巩固高频考向探究图24-144.[2019·菏泽]如图24-14,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且BC平分∠ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BDB.AD⊥OCC.△CEF≌△BEDD.AF=FD[答案]C[解析]∵AB是☉O的直径,BC平分∠ABD,∴∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,∴AD⊥BD.∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠DBC=∠OCB,∴OC∥BD,AD⊥OC,选项A,B成立;∵AO=OB,OF∥BD,∴AF=FD,选项D成立;∵△CEF和△BED中,没有相等的边,∴△CEF与△BED不全等,选项C不成立,故选C.基础知识巩固高频考向探究图24-155.[2013·江西16题]如图24-15,AB是半圆的直径,图①中,点C在半圆外;图②中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.(1)在图①中,画出△ABC的三条高的交点;(2)在图②中,画出△ABC中AB边上的高.基础知识巩固高频考向探究解:在图①中,点P即为所求;在图②中,CD即为所求.