（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系

第四章三角函数§4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式高考数学(江苏省专用)1.(2019课标全国Ⅰ文改编,7,5分)tan255°=.统一命题、省(区、市)卷题组五年高考答案2+ 3解析本题考查三角函数的求值与化简;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)= = =2+ .tan30tan451tan30tan453133133技巧点拨利用诱导公式将大角化小角,再进一步转化为特殊角的和.2.(2018课标全国Ⅰ文改编,11,5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α= ,则|a-b|=.23答案 55解析本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换.由题可知tanα= =b-a,又cos2α=cos2α-sin2α= = = = ,∴5(b-a)2=1,得(b-a)2= ,即|b-a|= .21ba2222cossincossinαααα221tan1tanαα221()1()baba231555方法归纳三角函数求值与化简的常用方法:(1)弦切互化法:主要利用tanα= 化成正弦、余弦;(2)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan .sincosαα43.(2018课标全国Ⅱ理,15,5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案- 12解析由sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,两式平方相加,得2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,整理得sin(α+β)=- .12解题技巧利用平方关系:sin2α+cos2α=1进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧,应熟练掌握.4.(2017北京理改编,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα= ,则cos(α-β)=.13答案- 79解析本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式,两角差的余弦公式.解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).∵sinα= ,∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα= (k∈Z).当cosα= = 时,cosβ=- ,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= × + × =- .当cosα=- =- 时,cosβ= ,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= × + × =- .综上,cos(α-β)=- .解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα,cosβ=cos[(2k+1)π-α]=-cosα,k∈Z.131321sinα22322322322313137921sinα22322322322313137979当sinα= 时,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2× -1=- .1319795.(2016课标全国Ⅲ理改编,5,5分)若tanα= ,则cos2α+2sin2α=.34答案 6425解析当tanα= 时,原式=cos2α+4sinαcosα= = = = .34222cos4sincossincosααααα214tantan1αα3144911664256.(2015福建改编,6,5分)若sinα=- ,且α为第四象限角,则tanα的值等于.513答案- 512解析∵sinα=- ,α为第四象限角,∴cosα= = ,∴tanα= =- .51321sinα1213sincosαα5121.(2014大纲全国改编,3,5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则a,b,c的大小关系为.教师专用题组答案cba解析∵b=cos55°=sin35°sin33°=a,∴ba.又∵c=tan35°= sin35°=cos55°=b,∴cb.∴cba.sin35cos352.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P .(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)= ,求cosβ的值.34,55513解析(1)由角α的终边过点P 得sinα=- ,所以sin(α+π)=-sinα= .(2)由角α的终边过点P 得cosα=- ,由sin(α+β)= 得cos(α+β)=± .由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=- 或cosβ= .34,55454534,5535513121356651665思路分析(1)由三角函数的定义得sinα的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.(2)由三角函数的定义得cosα的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cosβ的值.3.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin ,x∈R,且f = .(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)= ,θ∈ ,求f .4x51232320,234θ解析(1)f =Asin = ,∴A· = ,A= .(2)f(θ)+f(-θ)= sin + sin = ,∴  = ,∴ cosθ= ,cosθ= ,又θ∈ ,∴sinθ= = ,∴f = sin(π-θ)= sinθ= .5125124323232334θ34θ32322(sincos)(sincos)22θθθθ32632640,221cosθ10434θ33304三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2019盐城期中,3)若钝角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P ,则tanα=.3,2m答案- 3解析因为点P在单位圆上,所以m2+ =1,因为α是钝角,所以m=- ,则tanα= =- .23212yx32.(2019苏州期中,5)已知扇形的半径为6,圆心角为 ,则扇形的面积为.3答案6π解析扇形的面积为 ×62× =6π.123评析本题考查扇形的面积公式,属于应知应会的内容,是容易题.3.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,6)已知角α的终边经过点(-2,1),则tan(π-α)的值为.答案 12解析因为角α的终边经过点(-2,1),所以tan(π-α)=-tanα=- = .1212评析本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,属于基础题.4.(2019苏州期末,5)已知3sin(α-π)=cosα,则tan(π-α)的值是.答案 13解析3sin(α-π)=cosα化为-3sinα=cosα,得tanα=- ,故tan(π-α)=-tanα= .13135.(2019如皋检测,5)已知角θ的终边经过点P(-x,-6),且cosθ=- ,则tan =.5134θ答案- 177解析cosθ= =- ,解得x= ,所以P ,则tanθ= ,故tan = =- .22()(6)xx513525,621254θ1tan1tanθθ1776.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,9)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的终边经过点A(1,2),将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转 与角β的终边重合,则sin(α+β)的值为.2答案- 35解析根据题意得cosα= ,β=α+ ,所以sin(α+β)=sin =cos2α=2cos2α-1=- .15222α357.(2018泰州中学月考,7)已知sin = ,则sin +cos =.6x1456x3x答案 12解析sin =cos =cos = ,sin =sin = ,∴sin +cos = + = .6x3x3x146x56x1456x3x141412方法总结求解本题的关键是寻找角的关系: + =π和 - = .解三角函数题时,角的关系是利用公式的前提,所以一般都从角的关系入手寻找解题方法.6x56x6x3x28.(2018淮安、宿迁期中,7)已知sinα=cos ,0απ,则α的取值集合为.25答案 9,1010解析∵sinα=cos =sin =sin =sin =sin ,又0απ,∴α= 或 ,∴α的取值集合为 .252251010910109109,1010方法点拨本题考查诱导公式,把左右两边变成同角的三角函数之后,利用正弦值相等,容易得到角的终边有两种关系:互补或相等,从而得解.9.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,15)已知向量a=(2cosθ,1),b=(1,2sinθ)且θ∈(0,π).(1)若a∥b,求θ的值;(2)若a·b= ,求|a+b|.25解析(1)因为a∥b,所以4sinθcosθ=1,所以sin2θ= . (3分)又因为θ∈(0,π),所以2θ∈(0,2π),所以2θ= 或 ,所以θ= 或 . (7分)(漏1解扣2分)(2)因为a·b= ,所以2cosθ+2sinθ= ,所以cosθ+sinθ= , (10分)所以|a+b|= = . (14分)(忘记开根号扣2分)126561251225251522(2cos1)(2sin1)θθ1705一、填空题(每小题5分,共25分)B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组(时间：30分钟分值：55分)1.(2018常州武进期中,8)已知锐角α的终边上一点P(1+cos80°,sin80°),则锐角α=.答案40°解析已知锐角α的终边上一点P(1+cos80°,sin80°),∴tanα= = =tan40°,∴α=40°.sin801cos8022sin40cos402cos40评析本题考查三角函数定义及二倍角公式,不要被已知角迷惑.题目本质是已知角α的终边上一点的坐标求角α.2.(2019徐州检测,10)已知cos4α-sin4α= ,α∈ ,则cos =.230,2223α答案- 1526解析cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α=cos2α= ,因为α∈ ,所以2α∈(0,π),所以sin2α= = ,所以cos =cos2αcos -sin2αsin = × - × =- .230,221cos2α53223α2323231253321526思路点拨本题考查二倍角公式、两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系.首先由条件得到cos2α的值,解出sin2α的值,再利用两角和的余弦公式得到结果.3.(2019连云港期中,10)若函数f(x)=3sin 与g(x)=8tanx的图象在区间 上交点的横坐标为x0,则cos2x0的值为.2x0,2答案 79解析f(x)=3s