（湖南专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第12课时 反比例函数及其应用课件

第12课时反比例函数及其应用考点一反比例函数的概念考点聚焦一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量x的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).x≠0一般形式y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值kk的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限的y值大于第三象限的y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限的y值大于第四象限的y值考点二反比例函数的图象与性质减小增大对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题（续表）原点考点三反比例函数比例系数k的几何意义1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧S△APP1=⑨2.常见的与反比例函数图象有关的图形面积|k||𝒌|𝟐2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.考点五反比例函数的实际应用一次函数与反比例函数的综合问题常涉及以下几个方面:(1)求交点坐标(联立方程求解即可);(2)确定函数解析式(代入点的坐标求解);(3)求不等式的解集(借助图象);(4)与面积有关的问题(一般需要转化为规则图形).考点六一次函数与反比例函数的综合问题1.[九下P8习题26.1第3(3)题]若点(1,3)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则k=,在图象的每一支上,y随x的增大而.题组一教材题对点演练3减小[答案]k1k202.[九下P22复习题26第10题改编]在同一直角坐标系中,若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象没有交点,则k1k2的取值范围是.[解析]∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象没有交点,∴k1与k2异号,即k1k20.3.[九下P9习题26.1第5题改编]正比例函数y=x的图象与反比例函数y=𝑘𝑥的图象有一个交点的纵坐标是2.(1)当x=-3时,反比例函数y=𝑘𝑥的值为;(2)当-3x-1时,反比例函数y=𝑘𝑥的取值范围是.[答案](1)-43(2)-4y-43[解析](1)把纵坐标2代入y=x求出横坐标为2,即交点坐标为(2,2).把(2,2)代入y=𝑘𝑥,得k=4,故反比例函数的解析式为y=4𝑥,当x=-3时,y=-43;(2)当x=-3时,y=-43,当x=-1时,y=-4.又知反比例函数y=4𝑥在-3x-1时,y随x的增大而减小,即当-3x-1时,-4y-43.4.[九下P16习题26.2第6题改编]密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图12-1所示.(1)ρ与V之间的函数解析式是;(2)当V=9m3时,二氧化碳的密度ρ=kg/m3.图12-1[答案](1)ρ=9.9𝑉(V0)(2)1.1[解析](1)设ρ=𝑘𝑉.∵图象过点A(5,1.98),∴1.98=𝑘5,解得k=9.9,∴ρ与V之间的函数解析式为ρ=9.9𝑉(V0).(2)当V=9m3时,ρ=9.99=1.1(kg/m3).题组二易错题【失分点】进行反比例函数值的大小比较时,应注意在不同象限内不能应用反比例函数的增减性比较.5.若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线y=𝑘𝑥(k0)上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y1y3D.y3y1y2[答案]D[解析]反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,而-2-103,∴y3y1y2.故选D.6.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=𝑘2𝑥(k1k2≠0)的图象如图12-2所示,若y1y2,则x的取值范围是()A.-2x0或x1B.-2x1C.x-2或x1D.x-2或0x1图12-2[答案]D[解析]观察函数图象可知,当x-2或0x1时,直线y1=k1x+b在双曲线y2=𝑘2𝑥的上方,即若y1y2,则x的取值范围是x-2或0x1.考向一反比例函数的解析式[答案]C例1如图12-3,点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限,若反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点B,则k的值是()A.1B.2C.3D.23图12-3[解析]过点B作BC⊥OA于点C.∵点A的坐标是(2,0),∴AO=2.∵△ABO是等边三角形,∴OC=1,BC=3,∴点B的坐标是(1,3).把(1,3)代入y=𝑘𝑥,得k=3.故选C.|考向精练|1.[2019·安徽]已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则实数k的值为()A.3B.13C.-3D.-13A2.若点A(-2,3),B(m,-6)都在反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象上,则m的值是.1考向二反比例函数的图象与性质例2[2019·台州]已知某函数的图象C与函数y=3𝑥的图象关于直线y=2对称.下列命题:①图象C与函数y=3𝑥的图象交于点32,2;②点12,-2在图象C上;③图象C上的点的纵坐标都小于4;④A(x1,y1),B(x2,y2)是图象C上任意两点,若x1x2,则y1y2.其中真命题是()A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④[答案]A[解析]令y=2,得x=32,这个点在直线y=2上,也在图象C上,故①正确;令x=12,得y=6,点12,6关于直线y=2的对称点为12,-2,∴点12,-2在图象C上,②正确;经过对称变换,图象C也是类似双曲线的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足当x1x2时,y1y2,但是没有限制时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.|考向精练|1.[2019·黔东南州]若点A(-4,y1),B(-2,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=-1𝑥的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y1y3D.y1y3y2[答案]C[解析]∵点A(-4,y1),B(-2,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=-1𝑥的图象上,∴y1=-1-4=14,y2=-1-2=12,y3=-12.又∵-121412,∴y3y1y2.故选C.2.[2019·河北]如图12-4,函数y=1𝑥(𝑥0),-1𝑥(𝑥0)的图象所在坐标系的原点是()A.点MB.点NC.点PD.点Q图12-4[答案]A[解析]∵函数y=1𝑥(x0)与y=-1𝑥(x0)的图象关于y轴对称,∴直线MP是y轴所在直线,∵两支曲线分别位于第一、二象限,∴直线MN是x轴所在直线,∴坐标原点为M.3.[2019·济宁]如图12-5,点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点,将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC'.若反比例函数y=𝑘𝑥的图象恰好经过A'B的中点D,则k的值是()A.9B.12C.15D.18图12-5[答案]C[解析]取AB的中点(-1,3),绕点B逆时针旋转90°后得到D(3,5),∴k=3×5=15,故选C.4.[2019·益阳]反比例函数y=𝑘𝑥的图象上有一点P(2,n),将点P向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到点Q.若点Q也在该函数的图象上,则k=.[答案]6[解析]∵P(2,n)向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到点Q(3,n-1),且点P,Q均在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,∴𝑛=𝑘2,𝑛-1=𝑘3,∴𝑘2-1=𝑘3,解得k=6.考向三k的几何意义例3(1)如图12-6,过反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,若S△AOB=2,则k的值为.图12-6[答案](1)4[解析](1)∵点A是反比例函数y=𝑘𝑥图象上一点,且AB⊥x轴于点B,∴S△AOB=12|k|=2,解得k=±4.∵反比例函数图象在第一象限,∴k=4.例3(2)如图12-7,A是反比例函数y=𝑘𝑥(x0)图象上的一点,AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C.若矩形ABOC的面积为5,则k的值为.图12-7[答案](2)5[解析](2)∵AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C,∴矩形ABOC的面积=|k|,即|k|=5,而k0,∴k=5.例3(3)如图12-8,A,B是双曲线y=6𝑥上的两点,分别过点A,B作x轴和y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为2,则两个空白矩形面积的和为.[答案](3)8[解析](3)由A,B为双曲线上的两点,利用比例系数k的几何意义,求出矩形ACOG与矩形BEOF的面积,又已知阴影部分(矩形DGOF)的面积,故可求出两个空白矩形的面积之和.∵点A,B是双曲线y=6𝑥上的点,∴S矩形ACOG=S矩形BEOF=6.∵S矩形DGOF=2,∴S矩形ACFD+S矩形BDGE=6+6-2-2=8.图12-8|考向精练|图12-91.[2019·无锡]如图12-9,已知A为反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B.若△OAB的面积为2,则k的值为()A.2B.-2C.4D.-4[答案]D[解析]∵AB⊥y轴,S△OAB=2,而S△OAB=12|k|,∴12|k|=2.∵k0,∴k=-4.故选D.图12-102.[2019·巴中]如图12-10,反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,BE⊥x轴于点E,连接AD,已知AC=1,BE=1,S矩形BDOE=4,则S△ACD=.[答案]32[解析]连接AO,由反比例函数k的几何意义可知,S△AOC=12S矩形BDOE=2.因为AC=1,所以CO=4.因为DO=BE=1,所以CD=3,所以S△ACD=32.图12-113.如图12-11,平行于x轴的直线与函数y=𝑘1𝑥(k10,x0),y=𝑘2𝑥(k20,x0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为.[答案]8[解析]过点B作BE⊥x轴,垂足为E,过点A作AF⊥x轴,垂足为F,连接AE,直线AB交y轴于点D.因为△ABC与△ABE同底等高,所以S△ABE=S△ABC=4.因为四边形ABEF为矩形,所以S矩形ABEF=2S△ABE=8.因为k1=S矩形OFAD,k2=S矩形OEBD,所以k1-k2=S矩形OFAD-S矩形OEBD=S矩形ABEF=8.考向四反比例函数与一次函数综合例4[2017·长沙18题]如图12-12,点M是函数y=3x与y=𝑘𝑥的图象在第一象限内的交点,OM=4,则k的值为.图12-12[答案]43[解析]过点M作MN⊥x轴于点N,如