（呼和浩特专版）2020中考数学复习方案 第五单元 四边形 第25课时 正方形及中点四边形课件

第25课时正方形及中点四边形基础知识巩固高频考向探究定义四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形性质(1)正方形四条边①;(2)正方形四个角都是②;(3)正方形的对角线相等且互相③,每条对角线平分一组对角;(4)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点考点一正方形考点聚焦相等直角垂直平分基础知识巩固高频考向探究判定(1)有一组邻边相等的④是正方形;(2)有一个角是直角的⑤是正方形;(3)对角线相等的⑥是正方形;(4)对角线⑦的矩形是正方形（续表）矩形菱形菱形互相垂直基础知识巩固高频考向探究考点二平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系1.包含关系基础知识巩固高频考向探究2.特殊关系基础知识巩固高频考向探究考点三中点四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.中点四边形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理.常见结论如下:原四边形的形状中点四边形的形状任意四边形⑧平行四边形平行四边形矩形菱形菱形⑨正方形⑩平行四边形矩形正方形基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2019·雅安]如图25-1,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形图25-1[答案]C[解析]∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,∴EF=GH=12AB,EH=FG=12CD,∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形,故选C.基础知识巩固高频考向探究2.如图25-2,四边形AFDC是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是.8图25-2基础知识巩固高频考向探究3.如图25-3,在正方形ABCD中,M是BC上一点,连接AM,作AM的垂直平分线GH交AB于G点,交CD于H点,已知GH=12cm,则AM的长是.图25-3基础知识巩固高频考向探究[答案]12cm[解析]过点B作BE∥GH交CD于点E,交AM于点F,如图所示:由题意可得,BE=GH,BE⊥AM,∵∠CBE+∠BMF=90°,∠BAM+∠BMF=90°,∴∠CBE=∠BAM,在Rt△ABM和Rt△BCE中,∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐵𝐸,𝐴𝐵=𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐵𝐶𝐸,∴△ABM≌△BCE(ASA),∴AM=BE=GH=12cm.基础知识巩固高频考向探究4.[八下P63实验与探究]如图25-4,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的.图25-4𝟏𝟒基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】在四边形的基础上增加条件判定其为正方形时出错;对各类四边形各自的中点四边形的判定出现错误.5.[2018·湘潭]如图25-5,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形B图25-5基础知识巩固高频考向探究6.四边形ABCD的对角线相交于点O,能判定四边形是正方形的条件是()A.AC=BD,AB=CD,AB∥CDB.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDC.AD∥BC,∠A=∠CD.AO=CO,BO=DO,AB=BCB基础知识巩固高频考向探究考向一正方形的性质与判定图25-6例1已知:如图25-6,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.(1)求证:AP=BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵正方形ABCD,∴AD=BA,∠BAD=90°,即∠BAQ+∠DAP=90°.∵DP⊥AQ,∴∠ADP+∠DAP=90°,∴∠BAQ=∠ADP.∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P,∴∠AQB=∠DPA=90°,∴△AQB≌△DPA(AAS),∴AP=BQ.基础知识巩固高频考向探究(2)四对线段分别为AQ与AP,AQ与BQ,DP与AP,DP与BQ.图25-6例1已知:如图25-6,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.基础知识巩固高频考向探究1.[2017·呼和浩特9题]如图25-7,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE=5,∠EAF=135°,则以下结论正确的是()A.DE=1B.tan∠AFO=13C.AF=102D.四边形AFCE的面积为94|考向精练|图25-7基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]∵四边形ABCD是边长为1的正方形,∴对角线互相垂直平分,AO=OD=22,∴在Rt△AOE中,OE=322,DE=OE-OD=2,∴A选项错误.∵∠EAF=135°,∠ADO=45°,∴∠ADE=135°=∠EAF,∴△AFE∽△DAE,∴𝐷𝐸𝐴𝐸=𝐴𝐷𝐴𝐹=𝐴𝐸𝐹𝐸=25,∴AF=102,C选项正确.∵在Rt△AOF中,OF2=AF2-AO2,∴OF=2,∴tan∠AFO=𝐴𝑂𝑂𝐹=12,∴B选项错误.EF=OF+OE=522,四边形AFCE的面积=12×522×2=52,∴D选项错误.基础知识巩固高频考向探究2.[2016·呼和浩特9题]如图25-8,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E,F,G分别在AB,BC,FD上.若BF=62,则小正方形的周长为()A.568B.566C.562D.1063图25-8C基础知识巩固高频考向探究3.[2019·呼和浩特15题]已知正方形ABCD的面积是2,E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点,若CE=2,连接AE,与正方形的边CD交于点F,连接BF并延长,与线段DE交于点G,则BG的长为.基础知识巩固高频考向探究[解析]如图,延长AD,BG交于点H,连接EH,∵正方形ABCD的面积是2,∴边长为2,即AD=CE,易得△ADF≌△ECF,∴DF=CF,可得△HDF≌△BCF,∴DH=BC=CE,则四边形DCEH为正方形,且BF=FH,∴DC=EH,DC∥EH,∴△GDF∽△GEH,∴𝐹𝐺𝐺𝐻=𝐷𝐹𝐸𝐻=12,∵BF=FH,∴𝐵𝐺𝐵𝐻=23,∵BE=22,EH=2,∴BH=10,∴BG=2310,因此本题填2310.[答案]2310基础知识巩固高频考向探究4.[2018·呼和浩特16题]如图25-9,已知正方形ABCD中,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMAB,△CBE由△DAM平移得到,若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论:①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;②无论点M运动到何处,都有DM=HM;③无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.其中正确结论的序号为.图25-92基础知识巩固高频考向探究[答案]①②③[解析]如图,连接BH,DH,易证△CDH≌△CBH,∴∠CHB=∠DHC=60°.∵∠CBE=90°,EH⊥AC,∴C,B,E,H四点共圆,∴∠BEC=∠BHC=60°,∴∠BCE=30°,∴CE=2BE,由平移知DM=CE=2BE.∴①正确.连接HM,BD,BD与AC交于点O,易证△BEH≌△MAH,∴HM=HB=HD,∠MHA=∠BHE=∠OBH=∠ODH,又∵∠ODH+∠OHD=90°,∴∠OHD+∠AHM=90°,∴∠DHM=90°,∴△DHM是等腰直角三角形,故DM=MH.∴②正确.由②得∠DHM=90°,∵∠CHD∠CAD=45°,∴∠CHM135°,∴③正确.2基础知识巩固高频考向探究图25-105.[2013·呼和浩特23题]如图25-10,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F.(1)𝐹𝐶𝐸𝐹的值为.(2)求证:AE=EP.(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.基础知识巩固高频考向探究[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BCD=90°,∵∠AEP=90°,∴∠BAE=∠FEC,在Rt△ABE中,AE=32+12=10,∵sin∠BAE=𝐵𝐸𝐴𝐸=sin∠FEC=𝐹𝐶𝐸𝐹,∴𝐹𝐶𝐸𝐹=1010.解:(1)1010基础知识巩固高频考向探究图25-105.[2013·呼和浩特23题]如图25-10,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F.(2)求证:AE=EP.基础知识巩固高频考向探究(2)证明:在BA边上截取BK=BE,连接KE,∵∠B=90°,BK=BE,∴∠BKE=45°,∴∠AKE=135°,易知∠DCP=45°,∴∠ECP=135°,∴∠AKE=∠ECP,∵AB=CB,BK=BE,∴AB-BK=BC-BE,即:AK=EC,∵∠AEP=90°,∴∠KAE+∠AEB=∠CEP+∠AEB,∴∠KAE=∠CEP,在△AKE和△ECP中,∠𝐾𝐴𝐸=∠𝐶𝐸𝑃,𝐴𝐾=𝐸𝐶,∠𝐴𝐾𝐸=∠𝐸𝐶𝑃,∴△AKE≌△ECP(ASA),∴AE=EP.基础知识巩固高频考向探究图25-105.[2013·呼和浩特23题]如图25-10,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F.(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.基础知识巩固高频考向探究(3)存在.证明:作DM⊥AE交AB于点M,则有:DM∥EP,连接ME,DP,∵在△ADM与△BAE中,∠𝐴𝐷𝑀=∠𝐵𝐴𝐸,𝐴𝐷=𝐵𝐴,∠𝐷𝐴𝑀=∠𝐴𝐵𝐸,∴△ADM≌△BAE(ASA),∴MD=AE,∵AE=EP,∴MD=EP,∴四边形DMEP为平行四边形.基础知识巩固高频考向探究6.[2018·呼和浩特玉泉区第二学期八年级期末]如图25-11,已知一次函数y=-12x+b的图象过点A(0,3),点P是该直线上的一个动点,过点P分别作PM垂直x轴于点M,PN垂直y轴于点N,在四边形PMON的边上分别截取:PC=13MP,MB=13OM,OE=13ON,ND=13NP.(1)求b的值.(2)求证:四边形BCDE是平行四边形.(3)在直线y=-12x+b上是否存在这样的点P,使四边形BCDE为正方形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图25-11解:(1)b=3.基础知识巩固高频考向探究6.[2018·呼和浩特玉泉区第二学期八年级期末]如图25-11,已知一次函数y=-12x+b的图象过点A(0,3),点P是该直线上的一个动点,过点P分别作PM垂直x轴于点M,PN垂直y轴于点N,在四边形PMON的边上分别截取:PC=13MP,MB=13OM,OE=13ON,ND=13NP.(2)求证:四边形BCDE是平行四边形.图25-11基础知识巩固高频考向探究(2)证明:易知∠OMP=∠ONP=∠MON=90°,∴四边形PMON是矩形,∴PM=ON,OM=PN,∠NPM=90°.∵PC=13MP,MB=13OM,OE=13ON,ND=13NP,∴PC=OE,CM=NE,ND=BM,PD=OB,∴△OBE≌△PDC(SAS),△MBC≌△NDE(SAS),∴DE=BC,BE=DC,∴四边形BCDE是平行四边形.基础知