（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 新人教A

第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算知识梳理-3-知识梳理双基自测234151.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)𝑥2-𝑥1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为Δ𝑦Δ𝑥.6知识梳理-4-知识梳理双基自测234152.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|𝑥=𝑥0,即f'(x0)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的,切线方程为.(x0,f(x0))切线的斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)6知识梳理-5-知识梳理双基自测234153.函数f(x)的导函数一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数,导数为f(x)的,通常也简称为导数.值记为f'(x),且f'(x)=limΔ𝑥→0f(x+𝛥x)-f(x)𝛥x,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)导函数6知识梳理原函数导函数f(x)=C(C为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,α≠0)f'(x)=f(x)=sinxf'(x)=f(x)=cosxf'(x)=f(x)=ax(a0,且a≠1)f'(x)=f(x)=exf'(x)=f(x)=logax(a0,且a≠1)f'(x)=f(x)=lnxf'(x)=-6-知识梳理双基自测234154.基本初等函数的导数公式αxα-1cosx-sinxaxlna(a0,且a≠1)ex1𝑥ln𝑎(a0,且a≠1)1𝑥6知识梳理-7-知识梳理双基自测234155.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=;(2)[f(x)·g(x)]'=;(3)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)'=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2(g(x)≠0).f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)6知识梳理-8-知识梳理双基自测2341566.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.y'u·u'xy对uu对x知识梳理2-9-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.()(2)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×知识梳理-10-知识梳理双基自测234152.一质点沿直线运动,如果由始点起经过ts后的位移为那么速度为零的时刻是()A.0sB.1s末C.2s末D.1s末和2s末s=13t3-32t2+2t,答案解析解析关闭∵s=13t3-32t2+2t,∴v=s'=t2-3t+2.令v=0,则t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.故选D.答案解析关闭D知识梳理-11-知识梳理双基自测234153.若函数f(x)=ln𝑥𝑥,则f'(2)=.答案解析解析关闭由f'(x)=1-ln𝑥𝑥2,得f'(2)=1-ln24.答案解析关闭1-ln24知识梳理-12-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭f(x)=xex,∴f(1)=e,f'(x)=ex+xex,∴f'(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.答案解析关闭y=2ex-e4.函数f(x)=xex的图象在点(1,f(1))处的切线方程是.知识梳理-13-知识梳理双基自测234155.已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案解析解析关闭当x0时,-x0,则f(-x)=lnx-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=lnx-3x,所以f'(x)=1𝑥-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.答案解析关闭y=-2x-1-14-考点1考点2考点1导数的运算例1分别求下列函数的导数:(1)y=ex·sinx;(2)y=x𝑥2+1𝑥+1𝑥3;(3)y=x-sin𝑥2cos𝑥2;(4)y=ln√1+𝑥2.思考函数求导应遵循怎样的原则?-15-考点1考点2解(1)y'=(ex)'sinx+ex(sinx)'=exsinx+excosx.(2)∵y=x3+1+1𝑥2,∴y'=3x2-2𝑥3.(3)∵y=x-sin𝑥2cos𝑥2=x-12sinx,∴y'=𝑥-12sin𝑥'=1-12cosx.(4)∵y=ln√1+𝑥2=12ln(1+x2),∴y'=12·11+𝑥2(1+x2)'=12·11+𝑥2·2x=𝑥1+𝑥2.-16-考点1考点2解题心得函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.-17-考点1考点2对点训练1(1)已知函数f(x)的导函数f'(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf'(2)+lnx,则f'(2)的值等于()A.2B.-2C.94D.-94(2)求下列函数的导数:D①y=x2sinx;②y=lnx+1𝑥;③y=cos𝑥e𝑥;④y=ln(2x-5).-18-考点1考点2解析:因为f(x)=x2+3xf'(2)+lnx,所以f'(x)=2x+3f'(2)+1𝑥.令x=2,则f'(2)=2×2+3f'(2)+12,即2f'(2)=-92,所以f'(2)=-94.故选D.(2)解:①y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.②y'=ln𝑥+1𝑥'=(lnx)'+1𝑥'=1𝑥−1𝑥2.③y'=cos𝑥e𝑥'=(cos𝑥)'e𝑥-cos𝑥(e𝑥)'(e𝑥)2=-sin𝑥+cos𝑥e𝑥.④令u=2x-5,y=lnu,则y'x=y'u·u'x=1𝑢·2=12𝑥-5·2=22𝑥-5,即y'=22𝑥-5.-19-考点1考点2考点2导数几何意义的应用(多考向)考向一已知过函数图象上一点求切线方程例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.思考求函数的切线方程要注意什么?-20-考点1考点2解(1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1,又f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点P(x0,𝑥03-4𝑥02+5x0-4),∵f'(x0)=3𝑥02-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3𝑥02-8x0+5)(x-2),又切线过点P(x0,𝑥03-4𝑥02+5x0-4),∴𝑥03-4𝑥02+5x0-2=(3𝑥02-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.-21-考点1考点2考向二已知切线方程(或斜率)求切点例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为()A.ln2B.-ln2C.ln22D.-ln22答案解析解析关闭函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x)=ex-a·e-x.又f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即ex-a·e-x=-(e-x-a·ex),则ex(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)(1-a)=0,解得a=1.所以f'(x)=ex-e-x.令ex-e-x=32,解得ex=2或ex=-12(舍去,因为ex0),所以x=ln2.答案解析关闭A-22-考点1考点2考向三已知切线方程(或斜率)求参数的值例4若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.思考已知切线方程(或斜率)求参数的值关键一步是什么?答案解析解析关闭对函数y=lnx+2求导,得y'=1𝑥,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=1𝑥+1.设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=1𝑥1(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1𝑥2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以1𝑥1=1𝑥2+1,ln(𝑥2+1)=ln𝑥1+𝑥2𝑥2+1+1,解得x1=12,所以k=1𝑥1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.答案解析关闭1-ln2-23-考点1考点2解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.-24-考点1考点2对点训练2(1)已知曲线f(x)=𝑥2+𝑎𝑥+1在点(1,f(1))处切线的倾斜角为3π4,则实数a=()A.1B.-1C.7D.-7(2)(2018全国Ⅱ,理13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.(3)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.𝑏𝑥答案解析解析关闭(1)因为f'(x)=2𝑥(𝑥+1)-(𝑥2+𝑎)(𝑥+1)2=𝑥2+2𝑥-𝑎(𝑥+1)2,又f'(1)=tan3π4=-1,所以a=7.(2)∵y'=2𝑥+1,∴当x=0时,y'=2,∴曲线在(0,0)处的切线方程为y=2x.(3)由曲线y=ax2+𝑏𝑥过点P(2,-5),得4a+𝑏2=-5.①又y'=2ax-𝑏𝑥2,所以当x=2时,4a-𝑏4=-72,②由①②得𝑎=-1,𝑏=-2,所以a+b=-3.答案解析关闭(1)C(2)y=2x(3)-325