（福建专版）2020中考数学复习方案 第四单元 三角形 第24课时 锐角三角函数课件

第24课时锐角三角函数考点一锐角三角函数的定义考点聚焦如图24-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,则有∠A的正弦:sinA=∠𝐴的对边斜边=①;∠A的余弦:cosA=∠𝐴的邻边斜边=②;∠A的正切:tanA=∠𝐴的对边∠𝐴的邻边=③.图24-1𝒂𝒄𝒃𝒄𝒂𝒃考点二特殊角的三角函数值α三角函数30°45°60°sinα1222④cosα322212tanα33⑤3𝟑𝟐1【温馨提示】规律记忆法:30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1,2,3;30°,45°,60°角的余弦值是60°,45°,30°角的正弦值.1.sin2A+cos2A=⑥.2.sinA=cos(90°-∠A),即一个锐角的正弦值等于它余角的⑦.3.cosA=sin(90°-∠A),即一个锐角的余弦值等于它余角的⑧.4.tanA·tan(90°-∠A)=1,即一个锐角的正切值等于它余角的⑨.余弦值正弦值正切值的倒数考点三锐角三角函数之间的关系11.[2019·天津]2sin60°的值等于()A.1B.2C.3D.2题组一必会题对点演练C2.[2019·怀化]已知∠α为锐角,且sinα=12,则∠α=()A.30°B.45°C.60°D.90°A图24-23.[2019·厦门质检]如图24-2,在△ABC中,∠C=90°,则𝐵𝐶𝐴𝐵等于()A.sinAB.sinBC.tanAD.tanBA4.[2019·龙岩质检]已知∠A是锐角,且sinA=13,则cosA=.5.[2019·漳州质检]如图24-3,☉O是△ABC的外接圆,∠A=45°,则cos∠OCB的值是.图24-3𝟐𝟐𝟑𝟐𝟐题组二易错题【失分点】对锐角三角函数的概念理解错误;特殊角的三角函数值记错;非直角三角形不会转化为锐角三角函数计算.6.[2019·金华]如图24-4,矩形ABCD的对角线交于点O,已知AB=m,∠BAC=∠α,下列结论错误的是()A.∠BDC=∠αB.BC=m·tanαC.AO=𝑚2sin𝛼D.BD=𝑚cos𝛼C图24-4[答案]D图24-5[解析]过点A作AD⊥BC于点D,∵cosC=14,AC=4,∴CD=1,∴BD=3,AD=42-12=15.在Rt△ABD中,AB=(15)2+32=26,∴sinB=𝐴𝐷𝐴𝐵=1526=104,故选D.7.[2019·凉山州]如图24-5,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=14,则sinB的值为()A.102B.153C.64D.104[答案]32或2558.[2019·杭州]在直角三角形ABC中,若2AB=AC则cosC=.[解析]若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC=(2𝑥)2-𝑥2=3x,所以cosC=𝐵𝐶𝐴𝐶=3𝑥2𝑥=32;若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC=(2𝑥)2+𝑥2=5x,所以cosC=𝐴𝐶𝐵𝐶=2𝑥5𝑥=255.综上所述,cosC的值为32或255.考向一锐角三角函数的定义图24-6例1[2019·眉山]如图24-6,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上,则tan∠ECD的值为.[答案]32[解析]在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,∴AC=52+122=13.∵△ABC绕点A旋转到△ADE,∴ED=BC=12,AD=AB=5,∠ADE=90°,∴CD=AC-AD=13-5=8,∴tan∠ECD=𝐸𝐷𝐷𝐶=128=32,故答案为:32.|考向精练|图24-71.[2019·自贡]如图24-7,在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中,∠α,∠β如图所示,则cos(α+β)=.[答案]217[解析]如图,连接BC.∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成,∴AD=DE=CE=BE,∠ADE=∠BEC=120°,∴△ADE≌△BEC,∴∠EBC=α.∵∠BEC=120°,BE=CE,∴∠BCE=(180°-120°)÷2=30°,∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+30°=90°,设小正三角形的边长为a,则AC=2a,BC=3a,在Rt△ACB中,AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=7a.∴cos∠ABC=𝐵𝐶𝐴𝐵=3𝑎7𝑎=217.又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β,∴cos(α+β)=217.[答案]A[解析]设AC=a,则AB=a÷sin30°=2a,BC=a÷tan30°=3a,∴BD=AB=2a,∴tan∠DAC=(2+3)𝑎𝑎=2+3.2.[2017·滨州]如图24-8,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为()A.2+3B.23C.3+3D.33图24-8考向二特殊角的三角函数值例2在△ABC中,若角A,B满足cosA−32+(1-tanB)2=0,则∠C的大小为()A.45°B.60°C.75°D.105°[答案]D[解析]∵角A,B满足cos𝐴-32+(1-tanB)2=0,∴cosA-32=0且1-tanB=0,∴cosA=32,tanB=1,∴∠A=30°,∠B=45°,∴∠C=105°,故选D.|考向精练|1.[2018·葫芦岛]如图24-9,AB是☉O的直径,C,D是☉O上AB两侧的点,若∠D=30°,则tan∠ABC的值为()A.12B.32C.3D.33图24-9C2.[2019·甘肃]在△ABC中,∠C=90°,tanA=33,则cosB=.[答案]12[解析]在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=33,设a=3x,b=3x,则c=23x,∴cosB=𝑎𝑐=12.故答案为12.考向三锐角三角函数的综合应用例3[2018·贵阳]如图24-10①,在Rt△ABC中,以下是小亮探究𝑎sin𝐴与𝑏sin𝐵之间关系的方法:∵sinA=𝑎𝑐,sinB=𝑏𝑐,∴c=𝑎sin𝐴,c=𝑏sin𝐵.∴𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵.根据你掌握的三角函数知识,在图②的锐角三角形ABC中,探究𝑎sin𝐴,𝑏sin𝐵,𝑐sin𝐶之间的关系,并写出探究过程.图24-10解:过点B作BD⊥AC于D,则在Rt△ABD和Rt△BCD中,BD=csinA,BD=asinC,∴csinA=asinC,∴𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶.同理,𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶.∴𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶.|考向精练|[答案]2[解析]由正方形ABCD和点E,F分别为BC,CD边的中点,易证△ABE≌△BCF,证得AE⊥BF,延长BF交AD的延长线于点G,可证△BCF≌△GDF,∴DG=CB=AD,根据直角三角形的性质得AD=DP=12AG,∴∠APD=∠DAE=∠AEB,∴tan∠APD=tan∠AEB=2.故填2.1.[2019·张家界]如图24-11,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD=.图24-112.[2018·自贡]如图24-12,在△ABC中,BC=12,tanA=34,∠B=30°.求AC和AB的长.图24-12解:如图,过点C作CD⊥AB,交AB于点D.在Rt△BCD中,∠B=30°,BC=12,∴sinB=𝐶𝐷𝐵𝐶=𝐶𝐷12=12,∴CD=6.cosB=𝐵𝐷𝐵𝐶=𝐵𝐷12=32,∴BD=63.在Rt△ACD中,tanA=34,CD=6,∴tanA=𝐶𝐷𝐴𝐷=6𝐴𝐷=34,∴AD=8.AC=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=82+62=10,AB=AD+BD=8+63.综上所述,AC长为10,AB长为8+63.