减少解析几何运算量的常用策略

减少解析几何运算量的常用策略浙江省上虞中学谢全苗（312300）解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1．回到定义定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．例1一直线被两直线1l：032yx和2l：0632yx截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．简析略解：此题的一般求解思路是：先求出l分别与1l、2l的交点（用lk表示），然后利用中点坐标公式求出lk，进而得到l的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法．设l分别与1l、2l交于点M、N，又设M的坐标为（11,yx），则有03211yx①又因为M、N关于O对称，所以点N的坐标为（11,yx），则有0632yx②①×２＋②，得05211yx．可见M11,(yx）在l：052yx上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为052yx．例2已知12,FF分别是椭圆22221(0)xyabab的左右焦点，M是该椭圆上的一动点，MN是12FMF的外角平分线，2FQMN于Q，求动点Q的轨迹方程．略解：设(,)Qxy，延长2FQ和直线1FM相交于P，则(2,2)Pxcy，且MPQ≌2MFQ．所以2MPMF，2PQFQ，由椭圆的定义得：11122FPMFMPMFMFa．所以222(2)(2)(2)xccya，即222xyaNMxy2FOoo图１1FQP所以，动点Q的轨迹方程为222xya．２．设而不求例３已知ABC的三个顶点都在椭圆224580xy上，若(4,0)A，ABC重心是椭圆的右焦点，求直线BC的方程．简析略解：因(4,0)A为椭圆的短轴的顶点，右焦点(2,0)F为ABC重心，所以F的坐标与三顶点,,ABC的坐标有关，故设1122(,),(,)BxyCxy，则又因为,BC在椭圆上，故由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线BC的方程．对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③－④得：121212124()()5()()0xxxxyyyy．由题意知：120xx，将①、②整体代入得121265yyxx，这个正好是直线BC的斜率121265BCyykxx，而BC的中点坐标1212(,)22xxyyM，即(3,2)M，所以直线BC的方程为：62(3)5yx．问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略．３．用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易．例４如图2，在直线:90lxy上任取一点M，经过M点且以椭圆221123xy的焦点为焦点作椭圆，问当M在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．简析略解：椭圆两焦点为1(3,0)F，2(3,0)F，12023xx12003yy126xx①124yy②22114580xy③22224580xy④xy2FOoo1FM'1F作1F关于直线l的对称点'1F，要使所作椭圆的长轴最短，即12MFMF最短，也就是'12MFMF最短，故M点应是直线'12FF与已知直线l的交点，如图2．直线'11FF的方程为:30xy，由方程组得点(6,3)P，由中点坐标公式得'1(9,6)F，故直线'12FF的方程为:230xy．解方程组得所求M点的坐标为（－５，４）．由于'121802FFa，此时椭圆的方程为2214536xy．注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义．最小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对称变换．简明的解法找到了．对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系．４．活用平几由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了．例5（2001年全国高考试题）设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O．简析略证：如图３，记x轴与准线l交点Ｅ，过Ａ作ADl，垂足为Ｄ，则AD∥FE∥BC．连结AC，与EF相交于点N，则由平几知识得：ENCNBFADACAB，NFAFBCAB，根据抛物线的几何性质，AFAD，BFBC，所以ADBFAFBCENNFABAB，即N是EF的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线AC经过原点O．５．巧用向量向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，30xy90xy30xy90xyAＢＯＦDＣEElxyy图３AN使数形结合思想体现的更深刻、更完善.例６（1999年全国高中数学联赛试题）已知点(1,2)A，过点(5,2)D的直线与抛物线24yx交于Ｂ，Ｃ两点，试判断ABC的形状．解：设211(,2)Btt，222(,2)Ctt，12tt，11t，21t，则有211(5,22)DBtt，222(5,22)DCtt．∵Ｂ，Ｃ，Ｄ三点共线，∴DB∥DC．所以212(5)(22)tt221(5)(22)tt＝０121250tttt12(1)(1)4tt．又ABAC211(1,22)tt222(1,22)tt＝21(1)t22(1)t＋1(22)t2(22)t＝1(1)t2(1)t［1(1)t2(1)t＋４］＝０，所以ABAC，故ABC为直角三角形．例７已知圆22:4Cxy和两个定点(1,0),(1,0)AB，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为l，点Ａ关于l的对称点为/A，求/AB的最大值．分析：本题的常规解法是：首先求出点/A的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求/AB的表达式（要运用点/A的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出/AB的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点/A的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁．解：如图1，设/AA与直线l交于点Q，连接,OPOQ，由,OQ分别为',ABAA的中点，得OQ∥'AB，且/2ABOQ．又',AAlOPl，故OP∥'AA．设(0)AQmOPm，2OP，则OQOAAQOAmOP，ABOQP'Alxy图１xPO(1)PQOQOPOAmOP，由题意得OPPQ，则OPPQ＝０，即OP[(1)]OAmOP＝０，即OP2(1)OAmOP＝０，得OP4(1)OAm．又22OQOAmOP＝2222OAmOAOPmOP＝＝１＋224(1)4mmm＝－224814(1)5mmm,∵0m，∴当1m时，2max5OQ，∴max5OQ．所以/maxABmax225OQ，此时AQOP，点P的坐标为（０，２），切线方程为y２，点'A的坐标为（－１，４）．６．利用极坐标例８已知椭圆1162422yx，直线l：1812yx．Ｐ是l上一点，射线OP交椭圆于Ｒ，又点Ｑ在OP上且满足2OROPOQ．当Ｐ在l上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考压轴题)解题的策略分析：本题是求动点Ｑ),(yx的轨迹方程，即找到关于yx,的等式，可以用一般法来解，即设点Ｑ),(yx，Ｑ),(QQyx，Ｒ),(RRyx，再布立方程组来解．但必须看到这里有yx,，QQyx,，RRyx,六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件2OROPOQ知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比较简单．但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷．在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择．这里考虑到OROPOQ,,都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式．这样，分辩清了，简捷的方法、合理的运算和要运用的知识也就自然择优而定了．７．用好焦半径公式例９如图已知梯形ABCD中AB=2CD,点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点,且以A,B为焦点，当32≤≤43时，求双曲线的离心率e的取值范围.(2000年全国高考试题)解题的策略分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：32≤≤43中的，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E分有向线段AC所成的比”．这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地：他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图以AB的垂直平分线为y轴,以AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系xoy,则CD⊥y轴.因为双曲线过C、D,且以A,B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称，并设双曲线方程为22ax—22by=1(a＞0,b＞0),则离心率e=ac．在做好这一基础性工作的前题下，如何由的范围来求e的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到在本题这个双参数问题中，和e既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维的绝妙押轴题．这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭．因此，他们根据的范围已知这一条件，进而确立：先视为主元，再视e为主元，找出两个参数之间的关系=)(ef，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参数e的范围这样一个整体的思路和思维策略．于是，他们先视为主元，找的关系式：依题意，记A(c,0),C(2c,h)，E(0x,0y)，其中c=AB21为双曲线的半焦距，hxxyxAxBxExCxDxox是梯形的高.由定比分点公式得：0x=12c=)1(2)2(c，0y=1h．但在如何再视e为主元，找出两个参数之间的关系=)(ef上，是又一次体现思维水平的层次性和思维策略的重要性．视角一：视点C、E为直线ＡＣ与双曲线的交点，这时，虽能把方程2()3hyxcc代入22ax—22by=1得：22222222222(94)8(49)0bcahxahcxahab．这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径．思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了．视角二：视点C、E