九年级数学下册 第三章圆 4确定圆的条件习题课件 北师大版

4确定圆的条件1.探索平面内确定一个圆的条件.(重点)2.掌握过不在同一条直线上的三点作圆的方法.(重点、难点)1.确定一个圆的关键：_____和_____.2.确定圆的条件基础梳理圆心半径过一点的圆过两点的圆过不在同一条直线上三点的圆图形圆心圆心不确定圆心在线段AB的垂直平分线上,不确定圆心是线段AB,BC的垂直平分线的交点,圆心确定过一点的圆过两点的圆过不在同一条直线上三点的圆半径半径不确定半径不确定半径OA=OB=OC,半径确定总结过一点可以作_____个圆,过两点可以作_____个圆,过_______________的三点确定一个圆.过在同一直线上的三点_____作圆无数无数不在同一直线上不能3.三角形的外接圆三角形的_________确定的圆.4．三角形的外心(1)定义：三角形的外接圆的_____，即三角形的三边____________的交点.(2)性质：三角形的外心到三角形___________________.(3)位置：锐角三角形的外心在三角形的_____，直角三角形的外心是斜边_____，钝角三角形的外心在三角形的_____.三个顶点圆心垂直平分线三个顶点的距离相等内部中点外部(打“√”或“×”)(1)过三点有且只有一个圆.()(2)每个三角形都有一个外接圆.()(3)每个圆都有惟一一个内接三角形.()(4)三角形的外心到各个顶点的距离都等于外接圆的半径.()(5)外接圆的圆心一定在三角形的外部.()×√×√×知识点1过不在同一直线上的三点确定圆【例1】小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A,B,C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).(2)若在△ABC中，AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积.【思路点拨】(1)花坛即△ABC的外接圆，作出AB和AC的垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，连接圆心和一个顶点即半径.(2)直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半，求出半径，再算面积.【自主解答】(1)用尺规作出两边的垂直平分线,作出圆.⊙O即为所求的花园的位置.(2)∵∠BAC=90°,AB=8米,AC=6米,∴BC=10米,∴△ABC外接圆的半径为5米.∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.【总结提升】确定已知弧所在圆的圆心的“三种”方法1.利用圆的轴对称性，将圆对折，确定圆的两条直径，两直径的交点即为圆心.2.利用圆周角定理的推论，根据90°的圆周角所对的弦为直径，确定直径，然后确定两直径的交点或一条直径的中点即为圆心.3.根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的方法确定圆心.知识点2与三角形的外接圆相关的计算与证明【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE.(1)求证：AC=AE.(2)求△ACD的外接圆的半径.【解题探究】1.(1)DE与AB有何位置关系？为什么？提示：DE⊥AB.∵∠ACB=90°,∴AD为△ACD的外接圆直径,∴∠AED=90°.(2)结合(1)由AD平分∠CAE，如何证明AC=AE？提示：∵∠AED=90°,∠ACB=90°,AD平分∠CAE,∴AC=AE.2.(1)由已知条件和已证的结论如何求出AE，AB的长度？提示：∵AC=5,CB=12,∴AE=AC=5,BE=AB-AE=13-5=8.(2)图中哪个三角形与△ABC相似？为什么？提示：△ABC∽△DBE.∵AD是直径，∴∠AED=90°，∴∠BED=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△DBE.2222ABACCB51213.(3)由(2)中的三角形相似，可以得到(4)在△ADE中，所以外接圆的半径为AC5______,_____DE____.DEDE即，BCBE12810322ADAE___5________.2DE210()351331AD_____.25136【互动探究】△ACD的外接圆的面积是多少？△ABC的外接圆的面积呢？提示：△ACD的外接圆的面积为△ABC的外接圆的面积为25325(13).636213169().24【总结提升】两种三角形的外接圆半径的求法1.直角三角形的外心为斜边的中点，它的外接圆半径长为斜边的一半.2.等腰三角形的外接圆的半径，因其底边上的中线垂直于底边，故可借助于由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段所组成的直角三角形求解.题组一：过不在同一直线上的三点确定圆1.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的是()A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.直径是圆中最长的弦，①正确；经过不在同一直线上的三点可以确定圆，②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，③正确；半径相等的两个半圆重合，为等弧,④正确.2.如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是()A.点PB.点QC.点RD.点M【解析】选B.作弦AB和BC的垂直平分线,交点Q即为圆心.3.已知点A,B分别在∠MON的边OM,ON上，则经过点A,O,B能作圆的个数是_________.【解析】当0°∠MON180°时，过A,O,B能作一个圆，当∠MON=180°时，不能作圆.故可作0个或1个圆.答案：0个或1个4.已知直线l：y=x+4和点A(0,4)，B(-4,0)，点C为直线l上一点，试判断点A，B，C是否在同一个圆上.【解析】过A，B，C三点不能作一个圆.当x=0时，y=0+4=4；当x=-4时，y=-4+4=0.故A(0,4)，B(-4,0)在直线l上，所以A，B，C在一条直线上，所以点A，B，C不在同一个圆上.5.已知请找出所在圆的圆心，并将圆的其他部分作出来.AB，AB【解析】作法：(1)在上任取一点C(点C与A，B两点不重合).(2)连接AC，BC.(3)分别作AC，BC的垂直平分线，它们的交点O就是所在圆的圆心.(4)以O为圆心，以OA为半径作出⊙O，如图所示.ABAB题组二：与三角形的外接圆相关的计算与证明1.(2012·雅安中考)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=110°，则∠C的度数为()A．55°B．70°C．60°D．45°【解析】选A.∠C和∠AOB是同一条弧AB所对的圆周角和圆心角，所以11CAOB11055.22＝＝＝【变式备选】(2012·泰州中考)如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D,∠A=50°，则∠OCD的度数是()A．40°B．45°C．50°D．60°【解析】选A．连接OB，则∠BOC=2∠A=100°，OB=OC，∵OD⊥BC，∵∠COD＋∠OCD=90°，∴∠OCD=40°.1CODBOC502，2.(2012·阜新中考)如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为_____cm的圆形纸片所覆盖．【解析】设圆心为O，连接OB,OC.则OB=OC，∠BOC=2∠BAC=120°，所以则答案：BC3OB3cm，OB3cm．33.如图所示，已知AB=5cm,∠C=30°，求△ABC的外接圆的直径.【解析】连接OA，OB，∵∠C=30°，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=5cm，即⊙O的直径为10cm.4.在△ABC中,∠ACB=90°,斜边长为c,两直角边a,b为方程x2-19x+90=0的根.求△ABC外接圆的面积.【解析】∵x2-19x+90=0,∴(x-9)(x-10)=0.∴x1=9,x2=10,即a=9,b=10或a=10,b=9.∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴c2=a2+b2=181,线段c为△ABC外接圆直径.即△ABC外接圆的面积为2211181(c)c,244181.4【想一想错在哪？】已知圆内接三角形中，AB=AC,圆心O到BC的距离为3cm,圆半径为7cm,求腰长AB.提示：考虑问题不全面，漏掉了△ABC是钝角三角形的情况.