九年级数学下册 第28章圆28.2与圆有关的位置关系 3切线第2课时习题课件 华东师大版

3.切线第2课时1.了解切线长的概念和切线长定理，会运用切线长定理解决简单的计算和证明问题.（重点、难点）2.了解三角形的内切圆的画法，了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.（重点）一、切线长定理如图，点P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A和点B.【思考】（1）过圆外一点可作圆的几条切线？提示：两条.(2)线段PA和PB相等吗？为什么？提示：相等，∵PA,PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB,OA⊥PA.又∵OA=OB,OP=OP,∴△OPB≌△OPA,∴PA=PB.(3)∠OPB与∠OPA相等吗？提示：相等.【总结】(1)圆的切线长：圆的切线上某一点与_____之间的线段的长.(2)切线长定理：从圆___一点可以引圆的_____切线，它们的_______相等，这一点和圆心的连线_____这两条切线的_____.切点两条切线长平分外夹角二、三角形内切圆如图，在△ABC中有一个⊙I与AB，AC，BC都相切.【思考】（1）如何确定圆心I？提示：作△ABC任意两内角的平分线，交点即为圆心I.（2）圆心I到△ABC三边的距离相等吗？提示：相等.【总结】三角形的内切圆：与三角形三边都_____的圆，圆心叫做三角形的_____，三角形叫做圆的_____三角形._______的内心是三角形三条___________的交点.三角形的内心到三角形三边的距离都_____.相切内心外切三角形内角平分线相等（打“√”或“×”）（1）过一点可以作圆的两条切线.（）（2）切线长就是圆的切线的长.（）（3）任意三角形都有且只有一个内切圆.（）（4）三角形的内心到三角形三个顶点的距离都相等.（）（5）三角形的内心都在三角形的内部.（）××√×√知识点1切线长定理及其应用【例1】如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C.（1）求证：OD∥BE.（2）如果OD＝6cm，OC＝8cm，求CD的长．【思路点拨】（1）首先连结OE，方法一：由AM和DE是它的两条切线，及切线长定理，易得∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，可得∠AOD=∠ABE，根据同位角相等，两直线平行，即可证得OD∥BE.方法二：由切线长定理和线段垂直平分线的判定与性质，可得AE⊥OD,又由直径所对的圆周角为直角可得∠AEB=90°，进而推出OD∥BE.1AODEODAOE2，（2）由BC和CE是⊙O的两条切线得CE=CB，根据OB=OE，得出OC在线段BE的垂直平分线上，得出OC⊥BE，又由OD∥BE，得出OC⊥OD.在Rt△OCD中，由勾股定理求出CD的长.【自主解答】（1）方法一：连结OE，∵AD和DE是⊙O的两条切线，∴∠DAO=∠DEO=90°,又由切线长定理得∠ADO=∠EDO,∵弧AE所对的圆心角是∠AOE，弧AE所对的圆周角是∠ABE，∴OD∥BE.1AODEODAOE.2＝＝1ABEAOEAODABE2＝，＝，方法二：连结OE，连结AE交OD于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∵AD和DE是⊙O的两条切线，∴AD＝ED，∴点D是线段AE垂直平分线上的一点，又∵OA＝OE，∴点O是线段AE垂直平分线上的一点，∴线段OD在线段AE的垂直平分线上，∴∠AFO＝90°，∴∠AEB＝∠AFO，∴OD∥BE.(2)∵BC和CE是⊙O的两条切线，∴CE＝CB，∴点C是线段BE垂直平分线上的一点，又∵OB＝OE，∴点O是线段BE垂直平分线上的一点，∴线段OC在线段BE的垂直平分线上，∴OC⊥BE，∵OD∥BE，∴OC⊥OD.在Rt△OCD中，OD＝6cm，OC＝8cm，根据勾股定理，得22CDODOC10cm＝＝．【总结提升】有圆的两切线时引辅助线的三种方法1.连结圆心和两条切线的公共点，利用角平分线的性质解决问题.2.连结两个切点，利用等腰三角形的性质解决问题.3.连过切点的半径，利用直角三角形的性质及边角关系解决问题．知识点2三角形的内切圆【例2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5．⊙O内切Rt△ABC的三边AB，BC，CA于D，E，F，半径r=2．求△ABC的周长．【解题探究】（1）图中相等的线段有几对？分别写出.提示：图中相等的线段有3对，分别是BD和BE，CE和CF，AD和AF.（2）线段相等的依据是什么？提示：线段相等的依据是切线长定理.（3）连结OE，OF，试判断四边形OECF的形状，并说出理由.提示：四边形OECF是正方形.理由如下：E，F是切点，则OE⊥BC，OF⊥AC，又∠C=90°，∴四边形OECF是矩形，又∵OE=OF，∴四边形OECF是正方形.（4）求AC和AB的长.提示：CE=CF=r=2，又BC=5，∴BE=BD=3.设AF=AD=x，根据勾股定理，得(x+2)2+25=(x+3)2，解得x=10，则AC=12，AB=13.（5）结论：△ABC的周长是________=___.5+12+1330【总结提升】三角形的内心与外心名称确定方法性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)到三个顶点的距离相等(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条内角平分线的交点(1)到三边的距离相等(2)内心在三角形内部题组一：切线长定理及其应用1.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是()【解析】选B.∵PA,PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8.A.4B.8C.43D.832.如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为()A.35°B.45°C.60°D.70°【解析】选D.根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．根据切线长定理得PA=PB，∴∠PBA=∠PAB=55°，∴∠P=70°．3.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是______cm.【解析】如图，∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∵AB=3cm,∴OA=6cm,∴由勾股定理得∴光盘的直径为答案：1OABCAB60.2OB33cm，63cm.634.如图，⊙O的半径为3cm，点P到圆心的距离为6cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为_______°.【解析】连结AO，则△APO是直角三角形．根据OA=3cm，OP=6cm，可得∠APO=30°，∴∠APB=60°．答案：605.如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若AC=2，BD=3，求AB的长．【解析】（1）过O点作OE⊥CD，垂足为E，∵AC是切线，∴OA⊥AC，∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴OE=OA，∴CD是⊙O的切线．（2）过C点作CF⊥BD，垂足为F，∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3，∴CD=CE+DE=5，∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形，∴BF=AC=2，DF=BD-BF=1，在Rt△CDF中，CF2=CD2-DF2=52-12=24，ABCF26.6.如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°.（1）求∠P的大小.（2）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）.【解析】（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP=90°.∵∠BAC=30°，∴∠CAP=90°-∠BAC=60°.又∵PA，PC切⊙O于点A，C，∴PA=PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P=60°.（2）如图，连结BC，则∠ACB=90°.在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，∴AC=AB·cos∠BAC=2cos30°=∵△PAC为等边三角形，∴PA=AC，ACcosBAC,AB3.PA3.题组二：三角形的内切圆1.如图，点O是△ABC的内心，若∠ACB=70°，则∠AOB=()A.140°B.135°C.125°D.110°【解析】选C．∵点O是△ABC的内心，又∵∠ACB=70°，∴∠BAC+∠ABC=110°，∴∠OAB+∠OBA=55°，∴∠AOB=125°.11OABBACOBAABC22，，2.如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为_______.【解析】如图，设BC与⊙O相切于点D，连结OB，OD，∵点O是等边△ABC的内心，BC=2，∴∠OBD=30°，BD=1，答案：3ODO.33，的面积为3【变式训练】如图，△ABC的周长为20，其内切圆半径为3，则△ABC的面积=________．【解析】∵△ABC的内切圆半径为3，△ABC的周长为20，∴△ABC的面积答案：3020330.23.如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=________°.【解析】∵点P是△ABC的内心，又∵∠ABC+∠BCA+∠BAC=180°，∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.答案：901PBCABC2，11PCABCAPABBAC.22，4.如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=40°，则∠DEF=____________.【解析】如图，连结OD，OF，∵△ABC的三边分别切⊙O于点D，E，F．∴OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠DOF=180°-∠A=180°-40°=140°，答案：70°1DEFDOE702．5.如图，直线a，b，c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有______处．【解析】∵三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴三角形内角平分线的交点满足条件；如图，点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这一条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4处．答案：46.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8，求△ABC的内切圆半径．【解析】如图：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,根据勾股定理,得：AB=10,在四边形OECF中,OE=OF,∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形,由切线长定理,得:AD=AF,BD=BE,CE=CF,即：1CECFACBCAB2，1r68102.2【归纳整合】直角三角形内切圆半径1.两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径.即：（注：r是直角三角形内切圆的半径，a，b是直角边，c是斜边）2.两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径.即：abcr2－abr.abc【想一想错在哪？】已知△ABC的内心为点O，∠AOB=110°，则∠C=________.提示：混淆内心和外心的概念，导致解题时出现错误.