九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第3课时1.经历画二次函数y=ax2和y=a(x-h)2+k的图象的过程,归纳并掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质.(重点)2.通过观察二次函数y=ax2和y=a(x-h)2+k的图象,理解并掌握二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h)2+k的图象的平移关系.(重点、难点)在同一直角坐标系中画出函数y=x2,y=(x-1)2和y=(x-1)2+1的图象.列表:x-2-10123y=x24__01__y=(x-1)24__0____y=(x-1)2+15__1____14114225在直角坐标系中描点,然后分别用光滑的_____顺次连结三个函数的各点,得到函数y=x2,y=(x-1)2和y=(x-1)2+1的图象,如图所示.曲线【思考】(1)观察函数y=x2与y=(x-1)2+1的图象,其形状、开口方向、对称轴、顶点坐标相同吗?提示:形状和开口方向相同,对称轴和顶点坐标不同,y=x2的对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),y=(x-1)2+1的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,1).(2)通过观察图象可以看出y=(x-1)2+1的图象如何由y=x2的图象得到?提示:将y=x2的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到y=(x-1)2+1的图象.【总结】(1)二次函数y=a(x-h)2+k的性质:函数a0a0开口方向__________对称轴________________顶点坐标____________最值____________________________函数变化当xh时,y随x的增大而_____,当xh时,y随x的增大而_____当xh时,y随x的增大而_____,当xh时,y随x的增大而_____向上向下直线x=h直线x=h(h,k)(h,k)当x=h时,y最小=k当x=h时,y最大=k增大减小减小增大(2)二次函数的平移规律:（打“√”或“×”）(1)函数y=-3（x+5）2+2的顶点坐标为（5,2）.（）（2）函数的对称轴为x=3.（）（3）在函数y=-2（x-4）2-9中，当x4时，y随x的增大而减小.（）（4）二次函数y=-7（x+3）2的图象沿x轴向左平移3个单位,再向上平移2个单位，可以得到函数y=-7（x+6）2+2的图象.（）2y9x35（）×××√知识点1二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移关系【例1】如图,抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:(1)求抛物线y2的顶点坐标.(2)求阴影部分的面积S.(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,求抛物线y3的函数关系式.【思路点拨】(1)根据二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+k的平移关系,易得到抛物线y2的函数关系式,从而求出抛物线y2的顶点坐标.(2)把阴影部分进行平移,可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积.(3)设抛物线y3的函数关系式为y3=a(x-h)2+k,由题意可知y2与y3成中心对称,可得a=1,y3的顶点坐标为(-1,-2),所以得出h=-1,k=-2,从而得出抛物线y3的函数关系式.【自主解答】(1)因为抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2,所以抛物线y2的函数关系式为y2=-(x-1)2+2.所以抛物线y2的顶点坐标为(1,2).(2)把阴影部分进行平移,可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积,所以阴影部分的面积S=1×2=2.(3)设抛物线y3的函数关系式为y3=a(x-h)2+k.因为y2与y3成中心对称,抛物线y2的顶点坐标为(1,2),所以a=1,y3的顶点坐标为(-1,-2),所以h=-1,k=-2,所以抛物线y3的函数关系式y3=(x+1)2-2.【总结提升】函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象平移的规律可简记为:左加右减,上加下减.具体如下表:移动方向平移前的关系式平移后的关系式简记向左平移m(m0)个单位y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-h+m)2+k(a≠0)左加向右平移m(m0)个单位y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-h-m)2+k(a≠0)右减向上平移n(n0)个单位y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-h)2+k+n(a≠0)上加向下平移n(n0)个单位y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-h)2+k-n(a≠0)下减知识点2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【例2】已知函数y=(x+6)2-8.(1)指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(2)画出其图象.(3)根据图象说明该函数具有哪些性质.12【思路点拨】(1)根据y=a(x-h)2+k的性质确定函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(2)根据函数图象的画法:列表、描点、连线解题.(3)观察图象确定函数的增减性以及最值.【自主解答】(1)中,所以开口向上,对称轴为x=-6,顶点坐标为(-6,-8).(2)画函数图象的步骤有:列表、描点、连线.①列表.21y(x6)8211a,h6,k8,a0,22x…-8-7-6-5-4…y…-6-8-6…172172②描点.③连线(如图所示).(3)观察图象可以得出,当x-6时,函数值y随x的增大而减小;当x-6时,函数值y随x的增大而增大.从图象中能看出函数有最小值.当x=-6时,y最小值=-8.【总结提升】函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的性质比较函数y=ax2(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)开口方向当a0时,开口向上;当a0时,开口向下对称轴y轴(直线x=0)直线x=h顶点坐标(0,0)(h,k)增减性当a0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当a0时,相反最值a0,当x=0时,y最小=0;a0,当x=0时,y最大=0a0,当x=h时,y最小=k;a0,当x=h时,y最大=k题组一:二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移关系1.(2013·毕节中考)将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度所得的图象关系式为()A.y=(x-1)2+3B.y=(x+1)2+3C.y=(x-1)2-3D.y=(x+1)2-3【解析】选A.将抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的关系式为y=(x-1)2;再向上平移3个单位所得抛物线的关系式为y=(x-1)2+3.【变式备选】在平面直角坐标系中,如果抛物线y=3x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位,那么在新坐标系中此抛物线的函数关系式是()A.y=3(x-3)2+3B.y=3(x-3)2-3C.y=3(x+3)2+3D.y=3(x+3)2-3【解析】选D.原抛物线的顶点坐标为(0,0),因为把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位,所以新抛物线的顶点坐标为(-3,-3),设新抛物线为y=3(x-h)2+k,所以新坐标系中此抛物线的函数关系式是y=3(x+3)2-3.2.将二次函数y=(x-2)2+3的图象向右平移2个单位,再向下平移2个单位,所得二次函数的函数关系式为________.【解析】因为y=(x-2)2+3的顶点坐标为(2,3),所以把点(2,3)向右平移2个单位,再向下平移2个单位得到(4,1);而平移的过程中,抛物线的形状没改变,所以所得的新抛物线的函数关系式为y=(x-4)2+1.答案:y=(x-4)2+13.将抛物线y=ax2(a≠0)向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为________.【解析】原抛物线的顶点为(0,0),向右平移2个单位,再向上平移3个单位,那么新抛物线的顶点为(2,3),所以可设新抛物线的关系式为y=a(x-2)2+3,把(3,-1)代入得a=-4,所以y=-4(x-2)2+3.答案:y=-4(x-2)2+34.若二次函数y=-x2的图象平移后得到二次函数y=-(x-2)2+4的图象.(1)平移的规律是:先向_____(填“左”或“右”)平移______个单位,再向______(填“上”或“下”)平移______个单位.(2)在所给的坐标系内画出二次函数y=-(x-2)2+4的示意图.【解析】(1)原抛物线的顶点坐标为(0,0),新抛物线的顶点坐标为(2,4),说明新抛物线向右移动了2个单位,向上移动了4个单位.(2)列表:x…01234…y=-(x-2)2+4…03430…描点、连线.如图所示.题组二:二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1.(2013·益阳中考)抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)【解析】选A.根据二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),所以选A.2.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限【解析】选C.因为抛物线的顶点在第四象限,所以-m0,n0,∴m0.所以一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限.3.抛物线y=-(x-3)2+8的图象与抛物线y=(x-3)2-8的图象开口方向______(填“相同”或“不同”),顶点坐标______(填“相同”或“不同”),对称轴______(填“相同”或“不同”).【解析】因为抛物线y=-(x-3)2+8的图象的开口方向向下,顶点坐标为(3,8),对称轴为直线x=3;抛物线y=(x-3)2-8的图象的开口方向向上,顶点坐标为(3,-8),对称轴为直线x=3,所以它们的开口方向不同,顶点坐标不同,对称轴相同.答案:不同不同相同4.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x1x21,则y1________y2(填“”“=”或“”).【解析】由y=(x-1)2+1可知其对称轴是x=1,抛物线开口向上,所以当x1时,y随x的增大而增大,所以若x1x21,则y1y2.答案:5.已知二次函数y=-3(x-5)2+2,(1)写出抛物线的顶点坐标、对称轴.(2)x在什么范围内y随x的增大而减小?(3)x取何值时函数有最值?并写出最值.【解析】(1)根据二次函数的关系式y=-3(x-5)2+2,知函数图象的顶点坐标为(5,2),对称轴为x=5.(2)函数y=-3(x-5)2+2的图象开口向下,对称轴x=5,故当x5时,函数值y随x的增大而减小.(3)因为二次函数的开口向下,所以当x=5时,二次函数有最大值,y最大值=2.【想一想错在哪？】对于y=2(x+3)2+2的图象下列叙述正确的是()A.顶点坐标为(3,2)B.当x=3时,y有最大值2C.当x=-3时,y有最小值2D.当x3时y随x的增大而减小提示:二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),把顶点坐标的h值的符号理解错误,而导致出现错误.