2021高考数学一轮复习 第五章 数列 第3节 等比数列及其前n项和课件

第五章数列第3节等比数列及其前n项和课程标准考情索引核心素养1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.2019·全国卷Ⅰ，T142019·全国卷Ⅲ，T52018·全国卷Ⅰ，T142018·全国卷Ⅲ，T172017·全国卷Ⅱ，T31.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的符号表达式为an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．那么Ga＝bG，即G2＝ab．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k．(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.1．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.2．三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为xq3，xq，xq，xq3.3．等比数列{an}的单调性．(1)满足a1＞0，q＞1，或a1＜0，0＜q＜1时，{an}是递增数列．(2)满足a1＞0，0＜q＜1，或a1＜0，q＞1时，{an}是递减数列．(3)当a1≠0，且q＝1时，{an}为常数列．4．在运用等比数列的前n项和公式时，若公比q的值不确定，应分q＝1，q≠1两种情况讨论．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a（1－an）1－a.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为()A．8B．9C．10D．11解析：由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，所以a1am＝a5a6＝9，所以m＝10.答案：C3．(人A必修5·习题改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，所以q＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.答案：27，81[典题体验]4．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意知，an0，q0.由a5＝3a3＋4a1得a1q4＝3a1q2＋4a1，所以q2＝4，所以q＝2.由S4＝a1（1－24）1－2＝15，解得a1＝1.所以a3＝a1·q2＝4.答案：C5．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则当a1·a2·…·an取到最大值时，n的值为()A．3B．4C．3或4D．5解析：设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得a1＋a1q＝12，a1－a1q2＝6，解得a1＝8，q＝12，所以an＝8×12n－1＝12n－4(n∈N*)，所以a1·a2·…·an＝12－3－2－1＋0＋1＋…＋（n－4）＝12n（n－7）2，令f(n)＝12n(n－7)＝12(n2－7n)＝12n－722－498，当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值，且f(n)min＝－6，故当n＝3或n＝4时，a1·a2·…·an取得最大值．答案：C6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8GB(1GB＝210MB)．解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，所以an＝2n，则2n＝8×210＝213，所以n＝13.即病毒共复制了13次．所以所需时间为13×3＝39(秒)．答案：39考点1等比数列基本量的运算(自主演练)1．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．解析：由{an}为等比数列，设公比为q.由a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，得a1＋a1q＝－1，①a1－a1q2＝－3，②显然q≠1，a1≠0，②①得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.答案：－82．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝()A．9B．15C．18D．30解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则2S3＝2（a1＋a1q＋a1q2）＝8a1＋3a1q，a1q3＝16，解得q＝2，a1＝2，所以S4＝2（1－24）1－2＝30，故选D.答案：D3．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－89，则当Tn取得最大值时，n的值为()A．2B．3C．4D．6解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝－24，a4＝－89，所以q＝13，此等比数列各项均为负数．当n为奇数时，Tn为负数；当n为偶数时，Tn为正数．所以当Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2＝(－24)2×13＝192，T4＝(－24)4×136＝849192，T6＝(－24)6×1315＝19×8637849，T4最大．答案：C4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－（－2）n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.解决等比数列基本量运算的两种常用思想1．方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．2．分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.考点2等比数列的判定与证明(讲练互动)[典例](2020·江西临川一中模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝4anan＋2(n∈N*)．(1)证明：数列1an－12是等比数列；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明：因为an＋1＝4anan＋2，所以1an＋1＝an＋24an＝14＋12an，所以1an＋1－12＝121an－12，又a1＝1，所以1a1－12＝12，所以数列1an－12是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解：由(1)知1an－12＝12·12n－1＝12n，即1an＝12n＋12，所以bn＝nan＝n2n＋n2，设Tn＝12＋222＋323＋…＋n2n，①则12Tn＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1，②由①－②得，12Tn＝12＋122＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1.所以Tn＝2－12n－1－n2n.又12×(1＋2＋3＋…＋n)＝n（n＋1）4，所以数列{bn}的前n项和Sn＝2－2＋n2n＋n（n＋1）4.等比数列常用的三种判定方法1．定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．2．等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．3．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋(－1)n(3n＋1)．(1)求证：数列{an＋(－1)nn}是等比数列．(2)求数列{an}的前10项和S10.(1)证明：因为an＋1＝2an＋(－1)n(3n＋1)，所以an＋1＋（－1）n＋1（n＋1）an＋（－1）nn＝2an＋（－1）n（3n＋1）＋（－1）n＋1（n＋1）an＋（－1）nn＝2[an＋（－1）nn]an＋（－1）nn＝2.又a1－1＝3－1＝2，所以数列{an＋(－1)nn}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)得an＋(－1)nn＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－(－1)nn，所以S10＝(2＋22＋…＋210)＋(1－2)＋(3－4)＋…＋(9－10)＝2（1－210）1－2－5＝2041.考点3等比数列的性质及应用(讲练互动)[典例1]已知在数列{an}中，对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A．(3n－1)2B.12(9n－1)C．9n－1D.14(3n－1)解析：因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，所以当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1.又当n＝1时，a1＝2满足上式，所以an＝2·3n－1，所以数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列．所以a21＋a22＋…＋a2n＝4×（1－9n）1－9＝12(9n－1)．答案：B[典例2]已知等比数列{an}的前n项积记为Sn，若a3a4a8＝8，则S9＝()A．512B．256C．81D．16解析：由题意知a3a4a7q＝a3a7(a4q)＝a3a7a5＝a35＝8，所以S9＝a1·a2·a3·…·a9＝(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5＝a95＝83＝512.答案：A1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．已知等比数列{an}，且a6＋a8＝4，则a8(a4＋2a6＋a8)的值为()A．2B．4C．8D．16解析：因为a6＋a8＝4，所以a8(a4＋2a6＋a8)＝a8a4＋2a8a6＋a28＝(a6＋a8)2＝16.故选D.答案：D2．(一题多解)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝________．解析