2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线课件 文 新人教A版

数学第九章平面解析几何第6讲双曲线01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线__________为双曲线的焦点__________为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a|F1F2|F1、F2|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：__________，对称中心：__________顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝__________，e∈(1，＋∞)坐标轴原点ca性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝__________(c＞a＞0，c＞b＞0)a2＋b2y＝±x3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为__________，离心率为e＝2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn0)．二、习题改编1．(选修1­1P53T1改编)双曲线x224－y225＝－1的实轴长__________，离心率__________，渐近线方程__________．答案：1075y＝±5612x2．(选修1­1P53练习T3改编)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．答案：x2－y23＝13．(选修1­1P54A组T6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．答案：x28－y28＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()×√×√二、易错纠偏常见误区(1)忽视双曲线定义的条件致误；(2)忽视双曲线焦点的位置致误．1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是__________．解析：由|PF1|－|PF2|＝6|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y29－x27＝1的下支．答案：双曲线y29－x27＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为__________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则渐近线的方程为y＝±bax，由题意可得ba＝3，b＝3a，可得c＝2a，则e＝ca＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，则渐近线的方程为y＝±abx，由题意可得ab＝3，a＝3b，可得c＝233a，则e＝233.综上可得e＝2或e＝233.答案：2或233双曲线的定义及应用(典例迁移)设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是__________．【解析】双曲线x24－y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝5.可设点P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4，两边平方得，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，又|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，所以△PF1F2的面积为12|PF1|·|PF2|＝1.【答案】1【迁移探究】(变设问)在本例条件下，则△F1PF2的周长为__________．解析：又(|PF1|＋|PF2|)2＝(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝16＋8＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝26，△PF1F2的周长为26＋25.答案：25＋26双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．设F1，F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝()A．6B．4C．8D．4或8解析：选D.由双曲线的标准方程可得a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝__________．解析：由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.答案：34双曲线的标准方程(师生共研)(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－y28＝1B.x28－y2＝1C．x2－y28＝1(x≤－1)D．x2－y28＝1(x≥1)(2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程为__________．【解析】(1)设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝26，所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)在椭圆x29＋y24＝1中，c＝9－4＝5.因为双曲线C与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，所以可设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x24λ－y2λ＝1.当λ0时，c＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，则双曲线C的方程为x24－y2＝1；当λ0时，c＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C的方程为y2－x24＝1.综上，双曲线C的方程为x24－y2＝1或y2－x24＝1.【答案】(1)C(2)x24－y2＝1或y2－x24＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c2＝a2＋b2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法①一般步骤②常用设法(i)与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)或mx2＋ny2＝1(mn0)．1．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()A.x220－y24＝1B.x220－y216＝1C.y220－x216＝1D.y220－x24＝1解析：选B.2a＝（－5＋6）2＋22－（－5－6）2＋22＝45.所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x220－y216＝1.故选B.2．(2020·合肥市第一次质检测)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝12x，则双曲线C的方程为()A.x216－y24＝1B.x24－y216＝1C.x264－y216＝1D.x2－y24＝1解析：选A.由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝bax＝12x，可得a＝4，所以双曲线C的方程为x216－y24＝1，故选A.双曲线的几何性质(多维探究)角度一双曲线的渐近线问题(2020·吉林第三次调研测试)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±22xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±24x【解析】双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长为2a，虚轴长为2b，所以2a＝22b，即a＝2b.所以渐近线方程为y＝±bax＝±22x.故选C.【答案】C求双曲线的渐近线的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2－y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2－x2b2＝0，得y＝±abx.反之，已知渐近线方程为y＝±bax，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(a0，b0，λ≠0)．[说明]两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称．角度二双曲线的离心率问题(1)(2020·兰州市诊断考试)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为3，则其虚轴长为()A．82B．42C．22D．463(2)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C．2D．5【解析】(1)由题意知2a＝4，所以a＝2.因为e＝ca＝3，所以c＝23，所以b＝c2－a2＝22，所以2b＝42，即该双曲线的虚轴长为42，故选B.(2)法一：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为x－c22＋y2＝c24，将圆x－c22＋y2＝c24与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，即x＝a2c，所以点P，Q的横坐标均为a2c.由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，因此a2c2＋|PQ|22＝a2，即a2c2＋c22＝a2，即c24＝a21－a2c2＝a2b2c2，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝1＋ba2＝2，故选A.法二：记F(c，0)．连接OP，PF，则OP⊥PF，所以S△OPF＝12|OP|·|PF|＝12|OF|·12|PQ|，即12a·c2－a2＝12c·12c，即c2＝2ab，