2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.7 利用向量求空间角和距离课件 苏教版

第七节利用向量求空间角和距离内容索引必备知识·自主学习必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.两条异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则必备知识·自主学习2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ=|cosβ|=.anan必备知识·自主学习3.求二面角的大小(1)如图①,AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=.ABCD，必备知识·自主学习(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cosn1,n2|,二面角的平面角大小是__________________________.向量n1与n2的夹角(或其补角)必备知识·自主学习4.利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则|AB|=||=___________________________.(2)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为.AB222121212xxyyzz|AB|BOnn必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)设a,b是异面直线l1,l2的方向向量,则l1与l2所成的角就是a,b的夹角.()(2)设a是直线l的方向向量,b是平面α的法向量,则直线l与平面α成的角就是a,b的夹角.()(3)设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于a,b的夹角的大小.()必备知识·自主学习(4)利用可以求空间中有向线段的长度.()(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l和α所成角为30°.()2ABABAB必备知识·自主学习提示:(1)×.因为a,b∈(0,π),l1与l2夹角θ∈(0,].(2)×.因为a,b的余弦的绝对值等于线面角的正弦值.(3)×.因为a,b与二面角的大小相等或互补.(4)√.(5)√.2必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1混淆线线角与两向量夹角的范围致误考点一、T1,22线面角与向量夹角混淆致误考点二、典例必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(选修2-1P113习题3.2T8改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()101110A.B.C.D.10202010必备知识·自主学习【解析】选D.建立如图空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E,则=(-1,1,0),=,设异面直线DE与AC所成的角为θ,则cosθ=|cos|=.1012，，1012，，DEACDE，1010AC必备知识·自主学习2.(选修2-1P118复习题T4改编)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为________.必备知识·自主学习【解析】由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,答案:a22必备知识·自主学习3.(选修2-1P119复习题T13改编)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为________.17必备知识·自主学习【解析】2CD(CAABBD)3616642CABD1162CABD217.所以＝＋＋＝＋＋＋＋＝CDCAABBD因为＝＋＋，必备知识·自主学习所以·=||·||·cos,=-24.所以cos,=-.而二面角与,互补,所以所求二面角为60°.答案:60°CABDCABDCABDCABD12CABD必备知识·自主学习4.(选修2-1P118复习题T7改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.2必备知识·自主学习【解析】以A为原点,以(AE⊥AB),所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系,设D为A1B1的中点,则A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2),所以=(1,,2),=(1,0,2).ABAE，1AA322232AD1AC必备知识·自主学习∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角cos∠C1AD=又因为∠C1AD∈,所以∠C1AD=.答案:11ACADACAD(1322)(1022)32129，，，，＝＝，02，66必备知识·自主学习