2020年高中数学 第一章 空间几何体 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.2.3 空间几何体的

第一章空间几何体1．2空间几何体的三视图和直观图1．2．3空间几何体的直观图登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．学习目标‖自主导学‖预习课本P16～P18，思考并完成以下问题．知识点一|用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝1______(或2______)，它们确定的平面表示3________．45°135°水平面2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于4________或5______________．3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．x′轴y′轴的线段[思考探究]………………|辨别正误|1．相等的角在直观图中还相等吗？[提示]不一定，例如正方形的直观图为平行四边形．2．空间几何体的直观图唯一吗？[提示]不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．知识点二|空间几何体直观图的画法1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个6___轴，直观图中与之对应的是7____轴．2．画底面：平面8_________________表示水平平面，平面9____________和10_____________表示竖直平面．3．画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中11_________和12______都不变．4．成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．zz′x′O′y′y′O′z′x′O′z′平行性长度[思考探究]………………|辨别正误|判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系会变化．()(2)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点．()×√剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一画水平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．[解]画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.1．本例巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行．2．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.|方法总结|1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．解：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.题型二空间几何体的直观图【例2】如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．[解](1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.|方法总结|2．由如图所示几何体的三视图画出直观图．解：(1)画轴．如图(图1)，画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图(图2)．题型三空间几何体的还原与计算【例3】如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是()A．14B．102C．28D．142[解析]∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝12×(2＋5)×8＝28.[答案]C|方法总结|一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝24S原.3．已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2解析：选D由于S△ABC＝34a2，且S△A′B′C′S△ABC＝24，所以S△A′B′C′＝24S△ABC＝24×34a2＝616a2.4．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是________(填四边形的形状)．解析：如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6(cm)，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．答案：菱形知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．一个结论：斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：S直S原＝24.2．一个规则：在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．「自测检评」1．关于斜二测画法，下列说法不正确的是()A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：选C斜二测作图时，∠x′O′y′也可为135°，故C错．2．有下列叙述：①相等的角，在直观图中仍相等；②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B从原图到直观图只能保证平行的仍平行，故只有③正确．3．已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．解析：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3.∴S△ABC＝12×6×3＝9.答案：94．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长是________．解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案：105．画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝12AO＝34cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．