2020年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.

第四章圆与方程4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．3．体会用代数方法处理几何问题的思想．学习目标‖自主导学‖预习课本P129～P132，思考并完成以下问题．知识点一|圆与圆的位置关系及判定1．圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含．外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切．如图：2．圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系1_________2__________3__________________4__________5__________d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程Δ＞0⇒6______Δ＝0⇒7____________Δ＜0⇒8_____________相交内切或外切外离或内含[思考探究]………………|辨别正误|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()×(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()××√2．当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？[提示]不一定，也有可能是内切．知识点二|用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考探究]………………|辨别正误|1．用坐标法解决几何问题应按照怎样的思路进行？[提示]要先建立适当的坐标系，用坐标表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．2．利用坐标法求解几何问题要注意什么？[提示](1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素．(2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一两圆位置关系的应用【例1】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内含？[解]将圆C1、圆C2的方程配方，得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)若圆C1与圆C2外切，则有m＋12＋－2－m2＝3＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.(2)若圆C1与圆C2内含，则有m＋12＋－2－m2＜3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＜1，m2＋3m＋2＜0，解得－2＜m＜－1.判断两圆的位置关系一般用几何法，用几何法判断两圆的位置关系的步骤：(1)分别计算两圆的半径长r，R；(2)计算两圆的圆心距d；(3)根据d与r，R之间的关系得出结论.|方法总结|1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．内含解析：选C解法一(几何法)：把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝1－22＋0＋12＝2，r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．解法二(代数法)：联立方程x2＋y2－2x－3＝0，x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，解得x1＝1，y1＝－2或x2＝3，y2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．2．到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有条．解析：到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝3＋12＋－1－22＝5.半径之和为3＋1＝4，因为54，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．答案：4题型二与两圆相切有关的问题【例2】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．[解]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，则a－12＋b2＝r＋1，①b＋3a－3＝3，②|a＋3b|2＝r.③联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－43，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.|方法总结|两圆相切时常用的性质(1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切内切⇔|O1O2|＝|r1－r2|，外切⇔|O1O2|＝r1＋r2.(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).3．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－42＋b＋12＝1.①a．若两圆外切，则有a－22＋b＋12＝1＋2＝3，②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；b．若两圆内切，则有a－22＋b＋12＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.题型三与两圆相交有关的问题【例3】已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[解]设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，①x2＋y2－4x＋2y－11＝0，②的解，①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.又C1到直线AB的距离为d＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95.∴|AB|＝2r21－d2＝232－952＝245.即两圆的公共弦长为245.1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.|方法总结|4．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝254所截得的弦长为．解析：由题意，将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d＝|1＋1－1|12＋12＝22，由条件知，r2－d2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23.答案：23题型四直线与圆的方程的实际应用【例4】设有半径长为3km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？[解]如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为xa＋yb＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有|ab|a2＋b2＝3，a2＋b2＋a3v＝bv.解得a＝5，b＝3.75.所以乙向北前进3.75km时甲、乙两人相遇.坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题．建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.|方法总结|5．某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2km和22km，且A、B景点间相距2km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A，B两点在圆上，得a＝0，b＝2或a＝42，b＝52，由实际意义知a＝0，b＝2，∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B景点在小路的投影处．知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．两种方法：判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作．2．一种应用：直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：「自测检评」1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切解析：选B圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0,0)，半径长为r1＝3；圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为C2(4，－3)，半径长为r2＝4，圆心距|C1C2|＝42＋－32＝5.因为|r1－r2|＜|C1C2|＜3＋4＝r1＋r2，所以两圆相交．2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为()A．(1,0)和(0,1)B．(1,0)和(0，－1)C．(－1,0)和(0，－1)D．(－1,0)和(0,1)解析：选C由x2＋y2＝1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，解得x＝－1，y＝0或x＝0，y＝－1.3．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B因为直线通过第一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，故圆心位于第二象限．4．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()A.5B.6C．25D．26解析：选Cx2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0.圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到直线2x＋y－15＝0的距离d＝|2×0＋0－15|22＋12＝35，因此，公共弦长为250－352＝25.故选C.5．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是．解析：