2020届高考数学总复习 第七章 不等式 推理与证明 7-3 基本不等式课件 文 新人教A版

第3讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．a＝b2．几个重要的不等式(注意逆应用)(1)a2＋b2≥_________(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．2ab(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_______时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值q那么当且仅当________时，xy有最大值是q24(简记：和定积最大)．x＝yx＝y【答案】41．(教材改编)函数y＝x＋4x(x0)的最小值为________.【解析】∵x0，∴y＝x＋4x≥4，当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号，故函数y＝x＋4x(x0)的最小值为4.【答案】252．(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.【解析】设矩形场地的一边长为xm，矩形场地的面积为ym2，则另一边长为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤x＋（10－x）22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.【答案】813．(教材改编)设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．【解析】xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立．4．(教材改编)若正数m等于两个正数a与b之和，则当a＝________，b＝________时，ab有最大值________．【解析】a＋b＝m≥2ab，所以ab≤m24，当且仅当a＝b＝m2时，ab有最大值m24.【答案】m2m2m24【答案】7题组二常错题◆索引：基本不等式的两个易错点：(1)忽视不等式成立的条件；(2)忽视等号成立的条件．5．若x1，则x＋9x－1的最小值为________．【解析】x＋9x－1＝x－1＋9x－1＋1≥6＋1＝7，当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立．6．若实数x，y满足x2＋2y2＝4，则|xy|的最大值为________．【解析】因为x2＋2y2＝4，所以x2y2＝12×x2×2y2≤12×x2＋2y222＝2，则|xy|的最大值为2，当且仅当x＝±2时等号成立．【答案】2【答案】57．函数y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值为________．【解析】当sinx＝4sinx时，sinx＝±2，显然利用基本不等式时，等号取不到，可设t＝sinx，则t∈(0，1]，y＝t＋4t在(0，1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5.【答案】(－∞，－2]∪[2，＋∞)8．函数f(x)＝x＋1x的值域为________．【解析】当x0时，x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时取等号；当x0时，－x0，－x＋1－x≥2（－x）·1（－x）＝2，当且仅当x＝－1时取等号，所以x＋1x≤－2.故f(x)＝x＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．考点一利用基本不等式求最值【例1】(1)4a－2＋a的取值范围是______________．(2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，则3x＋4y的最小值是__________．(3)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________．【解析】(1)当a＞2时，a－2＞0，则4a－2＋a＝4a－2＋a－2＋2≥24a－2×（a－2）＋2＝2×2＋2＝6，当且仅当4a－2＝a－2，即a＝4时等号成立，当a＜2时，a－2＜0，4a－2＋a＝－42－a＋（2－a）＋2≤－242－a×（2－a）＋2＝－2×2＋2＝－2，当且仅当42－a＝2－a，即a＝0时，等号成立．综上知4a－2＋a的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(2)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴3x＋4y＝(x＋y)3x＋4y＝3yx＋4xy＋7≥23yx·4xy＋7＝7＋43，当且仅当3yx＝4xy且x＋y＝1，即x＝－3＋23，y＝4－23时等号成立，即3x＋4y的最小值是7＋43.(3)由4x2＋y2＋xy＝1得(2x＋y)2－3xy＝1，∴(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋32×2xy≤1＋32×2x＋y22，∴(2x＋y)2≤85，解得－2105≤2x＋y≤2105，∴2x＋y的最大值是2105.【答案】(1)(－∞，－2]∪[6，＋∞)(2)7＋43(3)2105【反思归纳】跟踪训练1(1)(2019·佛山模拟)已知正实数x，y满足xy＝1，则xy＋yyx＋x的最小值为________．(2)(2019·榆林模拟)已知x，y∈R＋，且x3＋y4＝1，则xy的最大值为__________．【解析】(1)依题意知，xy＋yyx＋x＝1＋y2x＋x2y＋1≥2＋2y2x×x2y＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故xy＋yyx＋x的最小值为4.(2)因为1＝x3＋y4≥2x3·y4＝2xy12＝xy3，所以xy≤3，当且仅当x3＝y4，即x＝32，y＝2时取等号，故xy的最大值为3.【答案】(1)4(2)3考点二利用基本不等式证明简单的不等式【例2】已知a0，b0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8.(2)1＋1a1＋1b≥9.【证明】(1)1a＋1b＋1ab＝21a＋1b，∵a＋b＝1，a0，b0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，∴1a＋1b＋1ab≥8当且仅当a＝b＝12时等号成立.(2)法一：∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋ab，∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.∴1＋1a1＋1b≥9当且仅当a＝b＝12时等号成立.法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab，由(1)知，1a＋1b＋1ab≥8，故1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab≥9.【反思归纳】跟踪训练2已知a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.【证明】∵a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．考点三基本不等式的实际应用【例3】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|＝x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式．(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【解析】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4000，得a＝2010x.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·2010x＋160＝80102x＋5x＋4160(x1)．(2)80102x＋5x＋4160≥8010×22x×5x＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当2x＝5x，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．【反思归纳】跟踪训练3某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？【解析】设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故0S≤10，从而0S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．