2020届高考数学一轮总复习 第七单元 不等式与推理证明 第43讲 不等关系与不等式的性质课件 理

高考总复习第（1）轮理科数学第七单元不等式与推理证明第43讲不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念，理解不等式的性质．2．会比较两个代数式的大小．3．会利用不等式的性质解决有关问题．1．不等式的定义用不等号“、≥、、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式．2．两个实数的大小比较(1)作差法．设a，b∈R，则a－b0⇔；a－b0⇔；a－b＝0⇔.(2)作商法．设a0，b0，则ab1⇔；ab＝1⇔；ab1⇔.ababa＝baba＝bab3．不等式的基本性质①对称性：ab⇔；②传递性：ab，bc⇒；③可加性：ab⇒；④不等式加法：ab，cd⇒；⑤可乘性：ab，c0⇒；c0⇒；⑥不等式乘法：ab0，cd0⇒；⑦不等式乘方：ab0⇒(n∈N，n1)；⑧不等式开方：ab0⇒(n∈N，n1).baaca＋cb＋ca＋cb＋dacbcacbcacbd1．倒数性质(1)ab，ab0⇒1a1b；(2)a0b⇒1a1b.2．分数性质若ab0，m0，则(1)真分数性质：bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)；(2)假分数性质：aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W表示，则上述关系可以表示为()A．W300B．W≥300C．W300D．W≤300答案：B2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)g(x)D．随x的值的变化而变化解：因为f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋10，所以f(x)g(x)．答案：Ａ3．若a、b为实数，则“ab0”是“ab1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：ab0是ab1的充分条件；反之，ab1能推出ab0或ab0.所以ab0不是ab1的必要条件．答案：Ａ4．“a＋cb＋d”是“ab且cd”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：ab且cd⇒a＋cb＋d.当取a＝1，b＝2，c＝5，d＝3时，满足a＋cb＋d，但不能推出ab且cd，故选A.答案：A5．若ab0，cd0，则一定有()A.acbdB.acbdC.adbcD.adbc解：由cd0，cd0⇒1d1c0，所以1－d1－c0，又ab0，所以－ad－bc，所以adbc.答案：D比较大小判断或证明大小关系不等式性质的应用考点1·比较大小【例1】若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则a，b，c的大小关系为________(从大至小的顺序排列)．解：(方法１：作差比较法)因为a－b＝ln33－ln44＝4ln3－3ln412＝ln81－ln64120，所以ab；因为b－c＝ln44－ln55＝5ln4－4ln520＝ln1024－ln625200，所以bc.所以abc.(方法2：作商比较法)易知a，b，c都是正数，因为ba＝3ln44ln3＝log81641，所以ab，bc＝5ln44ln5＝log62510241，所以bc，所以abc.(方法3：利用单调性)对于函数f(x)＝lnxx，f′(x)＝1－lnxx.易知当xe时，f(x)单调递减，所以e345，所以f(3)f(4)f(5)，即abc.答案：A【变式探究】1.若0x1，a0且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系是()A.|loga(1－x)||loga(1＋x)|B.|loga(1－x)||loga(1＋x)|C.不确定，由a的值确定D.不确定，由x的值确定解：(方法1：作差法)因为0x1，所以01－x1,01－x21,11＋x2，所以lg(1－x)0，lg(1－x2)0，lg(1＋x)0，所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝lg1－xlga－lg1＋xlga＝－1|lga|·[lg(1－x)＋lg(1＋x)]＝－1|lga|·lg(1－x2)0，所以|loga(1－x)||loga(1＋x)|.(方法2：作商法)因为0x1，所以01－x1,11＋x2，11－x＝1＋x1－x21＋x1，所以log(1＋x)(1－x)0.所以|loga1－x||loga1＋x|＝|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)11－xlog(1＋x)(1＋x)＝1，所以|loga(1－x)||loga(1＋x)|.点评：比较大小的常用方法(1)作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．当两个式子都是正数时，有时也可先平方再比较．(2)作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论(作商前一般需判断符号)．(3)单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，然后研究函数的单调性，根据单调性得出大小关系．考点2·判断或证明大小关系【例2】下列命题：①若ab，则a2b2；②若ab0，cd0，则adbc；③已知a，b，m都是正数，并且ab，则a＋mb＋mab；④若ab，则a3b3.其中，真命题的序号是__________解：对于①，令a＝1，b＝－2有ab，但a2b2不成立．故①为假命题．对于②，因为cd0，1cd0，所以1d1c，又ab0，所以adbc0，所以adbc.故②为真命题．对于③，因为a＋mb＋m－ab＝mb－ab＋mb0.所以a＋mb＋mab，即③为真命题．对于④，因为y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，所以当ab时，a3b3.所以④为真命题．答案：②③④【变式探究】2．设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中正确结论的序号是.解：①(方法1：利用不等式的性质)由ab1，1ab0，得1b1a，又c0，所以cacb，故①正确．(方法2：利用作差比较法)因为ca－cb＝cb－aab0，所以cacb.故①正确．②(方法1：利用作商比较法)因为ab1，所以ab1，c0，所以acbc＝(ab)c1，所以acbc.所以②正确．(方法2：利用函数的性质)由幂函数y＝xc(c0)在(0，＋∞)上是减函数可知，当ab1时，acbc，故②正确．③因为ab1，又c0，所以a－cb－c，由对数函数的性质得：logb(a－c)loga(a－c)loga(b－c)，故③正确．点评：(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明．(2)判断大小关系，常用的方法有：①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象．考点3·不等式性质的应用【例3】若变量x，y满足约束条件3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为__________．分析：本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x＋y，x－y的范围已经给出，若能将x＋2y用2x＋y，x－y表示，则可利用2x＋y与x－y的范围求出x＋2y的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．解：因为x＋2y＝(2x＋y)＋y－x，而3≤2x＋y≤9，－9≤y－x≤－6，所以－6≤x＋2y≤3，当2x＋y＝3，y－x＝－9，即x＝4，y＝－5时取到左边等号，所以z的最小值为－6.答案：－6【变式探究】3．(经典真题)不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3解：设x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－2y)，则1＝m＋n，2＝m－2n，解得m＝43，n＝－13，因为x＋y≥1，x－2y≤4，所以43(x＋y)≥43，－13(x－2y)≥－43，所以x＋2y＝43(x＋y)－13(x－2y)≥0.故命题p1，p2正确，p3，p4错误．故选C.点评：(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．如例3中，2x＋y与x－y中的x，y不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x＋y与x－y看作一个整体，把x＋2y用2x＋y，x－y表示，再求出x＋2y的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．(2)将x＋2y用2x＋y，x－y表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x＋2y＝m(2x＋y)＋n(x－y)，再比较得到m＝1，n＝－1.1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．3．求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围．axbcyd⇒axb－d－y－c⇒a－dx－yb－c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．(2)商的范围转化为积的范围．(3)由M1f1(x，y)N1，M2f2(x，y)N2，求g(x，y)的范围．常令g(x，y)＝mf1(x，y)＋nf2(x，y)，用恒等关系求出m，n，再利用同向不等式相加求得范围．