2020届高考数学一轮总复习 第二单元 函数 第10讲 对数与对数函数课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第10讲对数与对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为常用对数或自然对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点．3．知道对数函数是一种重要的函数模型．4．了解指数函数与对数函数互为反函数．aN01N1．对数(1)对数的定义如果ab＝N(a0，且a≠1)，那么b叫作以a为底N的对数，记作__________，其中______叫作对数的底数，______叫作对数的真数．(2)指数式与对数式的关系：ab＝N⇔____________(a0，a≠1，N0)．(3)几个常用等式：①loga1＝______；②logaa＝_______；③alogaN＝_______.(4)对数运算性质：如果a0，且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝________________；②logaMN＝________________；③logaMn＝________________.(5)换底公式：logaN＝_________(a0，a≠1，b0，b≠1，N0)．(0，＋∞)2．对数函数(1)对数函数的定义函数_________叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_____________.(2)对数函数的图象(3)对数函数的性质：①定义域：____________；②值域：_____________；③图象过定点_______，即x＝_______时，y＝_______.④当_______时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数；当________时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数．(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)10a10a13．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的关系指数函数y＝ax(a0且a≠1)和对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为_________，它们的图象关于直线________对称．反函数y＝x1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba；(2)logambn＝nmlogab.其中a0，且a≠1，b0，b≠1，m，n∈R.2．对数函数y＝logax(a0，且a≠1)与y＝log1ax的图象关于x轴对称．3．对数函数y＝logax的底数a1时，a越大，增长越慢，图象在x轴上方越靠近x轴(x1时)；0a1时，a越小，图象在x轴下方越靠近x轴(x1)．1．已知4a＝2，lgx＝a，则x＝_______.解：因为4a＝2，所以a＝log42＝12log44＝12，又因为lgx＝a，所以lgx＝12，所以x＝1210＝10.答案：102．lg5＋lg20的值是_______.解：lg5＋lg20＝lg100＝lg10＝1.答案：13．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A.log2xB.12xC．12logxD．2x－2解：指数函数y＝ax的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.答案：A4．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象大致是()解：因为a＞1，所以0＜1a＜1，所以函数y＝a－x单调递减，y＝logax单调递增，故选A.答案：A5．(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab解：c＝log1213＝log23＞log2e＝a，即c＞a.又b＝ln2＝1log2e1log2e＝a，即a＞b.所以c＞a＞b.答案：D比较大小对数函数的应用指数函数与对数函数的相互关系考点1·比较大小【例1】(1)(2018·天津卷·文)已知a＝log372，b＝(14)13，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab(2)设a＝log32，b＝ln2，c＝125，则()A.abcB.bcaC.cabD.cba解：(1)因为c＝log1315＝log35，a＝log372，又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log35log372log33＝1，所以ca1.因为y＝(14)x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以(14)13(14)0＝1，即b1.所以cab.解：(2)因为a＝log32＝1log23，b＝ln2＝1log2e，c＝125＝15，而52log23log2e1，所以151log231log2e，即cab.问题：比较a与b的大小还可采用什么方法？(方法1：图象法)如图，作出y＝log3x及y＝lnx的图象(如下图)由图可知，当x＝2时，ln2log32.(方法2：作差法)因为a－b＝log32－ln2＝lg2lg3－lg2lge＝lg2lge－lg3lg3·lge0，所以log32ln2.答案：(1)D(2)C【变式探究】1．(1)(经典真题)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z解：(1)(方法1)因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，此时loga3＜logb3正确；反之，若loga3＜logb3，则不一定得到3a＞3b＞3，例如当a＝12，b＝13时，loga3＜logb3成立，但推不出a＞b＞1.故“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件．(方法2)3a＞3b＞3⇔a＞b＞1；作出y＝logax及y＝logbx的图象(如图1和图2)：由图可知：loga3＜logb3⇔ab1或0ba1.所以“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件．(2)令t＝2x＝3y＝5z，因为x，y，z为正数，所以t＞1.则x＝log2t＝lgtlg2，同理，y＝lgtlg3，z＝lgtlg5.所以2x－3y＝2lgtlg2－3lgtlg3＝lgt2lg3－3lg2lg2×lg3＝lgtlg9－lg8lg2×lg3＞0，所以2x＞3y.又因为2x－5z＝2lgtlg2－5lgtlg5＝lgt2lg5－5lg2lg2×lg5＝lgtlg25－lg32lg2×lg5＜0，所以2x＜5z，所以3y＜2x＜5z.点评：对数函数值大小比较一般有以下四种方法：（1）单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不是同底，先化为同底；（2）“中间量”法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”；（3）图象法，根据图象观察得出大小关系；（4）作差法，采用作差，然后通过变形，转化为判断差的符号．考点2·对数函数的应用【例2】已知函数f(x)＝loga(3－ax)(其中a0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．解：因为a0，且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)为减函数，x∈[0,2]时，t(x)min＝3－2a，因为x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，所以3－2a0，所以a32.又a0，且a≠1，所以a∈(0,1)∪(1，32)．【变式探究】2．(2018·进贤县期中)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(其中a0，a≠1)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：因为a0，且a≠1，令t(x)＝3－ax，则t(x)为减函数，又f(x)＝logat(x)为减函数，所以a1.当x∈[1,2]时，t(x)min＝3－2a，f(x)max＝f(1)＝loga(3－a)，如果存在满足条件的a，则a满足：a1，3－2a0，loga3－a＝1，即1a32，a＝32.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.点评：(1)与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关．对于函数y＝logaf(x)，若定义域为R(即对任意x都有意义)，则f(x)0在R上恒成立；若函数y＝logaf(x)的值域为R，则f(x)能取遍所有的正实数．(2)对于y＝logaf(x)单调性的研究，要注意“同增异减”法则的运用；同时要特别注意定义域的要求．考点3·指数函数与对数函数的相互关系【例3】已知a是方程log2x＋x－3＝0的根，b是方程2x＋x－3＝0的根，则a＋b的值为__________．解：将两个方程变形为log2x＝3－x,2x＝3－x，构造函数y＝log2x，y＝2x，y＝3－x.画出这三个函数的图象(如图)，直线y＝3－x与y＝log2x和y＝2x分别交于A、B两点，C为y＝3－x与y＝x的交点，则C的坐标为(32，32)．因为y＝2x与y＝log2x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，所以A、B两点关于C对称，所以a＋b＝xA＋xB＝2×32＝3.【变式探究】3．(2017·辽宁一模)设点P在曲线y＝12ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A.1－ln2B.2(1－ln2)C.1＋ln2D.2(1＋ln2)解：由题意知y＝12ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于y＝x对称，如图．两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝12ex上点的最小距离的2倍．设y＝12ex上点(x0，y0)处的切线与y＝x平行，有y′x＝x0＝12ex0＝1，得x0＝ln2，y0＝1.所以y＝x与y＝12ex上点的最小距离是22(1－ln2)，所以所求距离为22(1－ln2)×2＝2(1－ln2)．点评：(1)指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．(2)一般地，互为反函数的两个函数的图象都关于直线y＝x对称．本题及其变式，发现两函数是互为反函数，并充分利用其图象关于y＝x对称是解题的关键．1．对数的定义揭示了指数式与对数式的内在联系，为对数的计算、化简、证明等问题提供了有效方法．2．对数的单调性是解决含有对数式的各种问题的最常用知识，应熟练掌握其应用．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)首先要研究函数的定义域；(2)要注意对数底数的取值范围．3．比较幂、对数大小的常用方法：(1)利用单调性；(2)与“中间量”比较；(3)利用数形结合．在比较对数值的正负时，掌握如下结论有利于解题．当a1且b1，或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1，或0a1且b1时，logab0.4．处理指数、对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，充分运用数形结合的思想方法进行求解．特别要注意互为反函数的两函数的图象关于直线y＝x对称．