随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题【知识梳理】一．离散型随机变量的定义1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应；③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(discreterandomvariable).二．离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn,X取每一个值xi(i=1,2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则称表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．用等式可表示为P(X=xi)=pi，i=1,2，…，n,也可以用图象来表示X的分布列．2.离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0，i=1,2，…，n；②11niip．三．两个特殊分布1.两点分布),1(~PBXX01P1-pp若随机变量X的分布列具有上表形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率．2.超几何分布),,(~nMNHX一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=nNknMNkMCCC，k=0,1,2，…，m，其中m=minnM,，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPnNnMNMCCC00nNnMNMCCC11…nNmnMNmMCCC如果随机变量X的分布列具有上表形式，则称随机变量X服从超几何分布．三．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X=k)=Cknpk(1－p)n－k，k=0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．易得二项分布的分布列如下;X01…k…nP00(1)nnCpp11(1)nnCpp…(1)kknknCpp…np【典型例题】题型一、随机变量分布列的性质【例1】设随机变量X的分布列为,3,2,1,)32()(iaiXPi，则a的值为____.【例2】随机变量ξ的分布列如下ξ-101Pabc其中a、b、c成等差数列,则P(|ξ|=1)=___，公差d的取值范围是_____.题型二、随机变量的分布列【例3】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．【例4】安排5个大学生到A，B，C三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率；（2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．【例8】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）10001002003000（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．【例9】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.