2020版高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修

【课标要求】1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．结合实例理解样本数据的标准差、方差.2.会用样本的数字特征对总体进行估计.3.会应用相关知识解决简单的实际问题．知识导图学法指导1.通过实例明确众数、平均数、中位数的统计含义．2．平均数、方差的求解是学习本节的重点，必须掌握相关的计算方法并能正确求解．3．能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，并从中提取需要的数字特征推断总体，能够正确运用数据分析的方法解决简单的实际问题．4．能够区别统计思维与确定性思维的差异，能够结合具体问题，理解统计推断结果的或然性，正确运用统计结果解释实际问题.知识点一众数、中位数、平均数1．众数一组数据中重复出现次数____的数叫做这组数的众数，即在样本数据中，频率________所对应的样本数据为众数．2．中位数把一组数据按________________________的顺序排列，把处于____位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是____________．当数据个数为偶数时，中位数是________________________．最多最大值从小到大(或从大到小)中间中间的那个数最中间两个数的平均数3．平均数如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么x－＝________________叫这n个数的平均数．1n(x1＋x2＋…＋xn)状元随笔(1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的．(2)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有，如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．(3)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数．知识点二标准差与方差1．标准差标准差是样本数据到平均数的一种________，一般用s表示，s＝________________________________________.2．方差标准差的________叫做方差．s2＝______________________________________，其中，xi(i＝1,2，…，n)是________，n是________，x－是________．平均距离1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2]平方s2样本数据1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]样本容量平均数状元随笔标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．[小试身手]1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)数据5,4,4,3,5,2的众数为4.()(2)数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半．()(3)方差与标准差具有相同的单位．()(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．()×√×√2．为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为()A．1.54mB．1.55mC．1.56mD．1.57m解析：x－＝300×1.60＋200×1.50300＋200＝1.56(m)．答案：C3．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数的众数为5，那么该组数据的中位数是()A．7B．5C．6D．11解析：由这组数据的众数为5，可知x＝5，把这组数据由小到大排列为－3,5,5,7,11，则可知中位数为5.答案：B4．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为()A．5B.5C．2D.2解析：因为x－＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，所以s＝15×[3－52＋…＋6－52]＝2.答案：D类型一众数、中位数、平均数的应用例1某公司的33名员工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320月工资5500500035003000250020001500(1)求该公司员工月工资的平均数、中位数、众数；(精确到1元)(2)假设副董事长的月工资从5000元提升到20000元，董事长的月工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又分别是多少？(精确到1元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【解析】(1)平均数是x－＝5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033≈2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)新的平均数是x－′＝30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033≈3288(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.状元随笔平均数一般是根据公式来计算的；求中位数时，先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据定义找寻或计算，而求众数则是通过观察找出出现次数最多的数据．方法归纳众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数则不一定改变．跟踪训练1某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x＋y的值为________．解析：因为甲班学生成绩的平均分是85，所以78＋79＋85＋80＋x＋80＋96＋927＝85，解得x＝5，又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝8.答案：8类型二方差、标准差的计算与应用例2(1)有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为()A．6B.6C．66D．6.5(2)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x－和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.x－，s2＋1002B.x－＋100，s2＋1002C.x－，s2D.x－＋100，s2【解析】(1)因为x－＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝111(61＋x)＝6，所以x＝5.方差为s2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611＝6.(2)样本数据x1，x2，…，x10的均值x－＝110(x1＋x2＋…＋x10)，方差s2＝110[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x10－x－)2]新数据x1＋100，x2＋100，…，x10＋100的均值x－′＝110(x1＋100＋x2＋100＋…＋x10＋100)＝110(x1＋x2＋…＋x10)＋100＝x－＋100，新数据x1＋100，x2＋100，…，x10＋100的方差s′2＝110[(x1＋100－x－－100)2＋(x2＋100－x－－100)2＋…＋(x10＋100－x－－100)2]＝110[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x10－x－)2]＝s2.【答案】(1)A(2)D方法归纳(1)若x1，x2，…，xn的平均数为x－，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx－＋a.(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.跟踪训练2甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；并根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．(2)若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？解析：(1)x－甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x－乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．(2)甲机床的数据变为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数变为100＋10＝110，方差仍为16[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝73.类型三频率分布直方图与数字特征的综合应用例3某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．(1)求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数；(2)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．【解析】(1)100×[1－(0.04＋0.12＋0.05)×2]＝58，即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数为58.(2)由频率分布直方图可以看出最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时，(0.04＋0.12)×2＝0.32，(0.04＋0.12＋0.15)×2＝0.62，∵0.320.50.62，∴中位数t满足6t8.由0.32＋(t－6)×0.15＝0.5，得t＝7.2.即这100名学生参加实践活动时间的中位数的估计值为7.2小时，由(0.04＋0.12＋0.15＋a＋0.05)×2＝1，解得a＝0.14，这100名学生参加实践活动时间的平均数的估计值为：0．04×2×3＋0.12×2×5＋0.15×2×7＋0.14×2×9＋0.05×2×11＝7.16小时.众数是最高矩形底边的中点，中位数两侧小矩形面积相等．方法归纳利用频率分布直方图求数字特征(1)众数是最高的矩形的底边的中点．(2)中位数左右两侧直方图的面积相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标．(4)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．跟踪训练3从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩．解析：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二地垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.30.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03