2020版高中数学 第二章 数列 2.4.2 等比数列的性质及应用课件 新人教A版必修5

知识点一等比数列的项与序号的关系两项关系an＝am·____(n，m∈N*)多项关系若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则____________qn－mam·an＝ap·aq状元随笔(1)在已知等比数列{an}中任一项am及公比q的前提下，可以利用an＝amqn－m求等比数列中任意项an；(2)已知等比数列{an}中的am和an两项，就可以使用anam＝qn－m求公比，其中m可大于n，也可小于n.知识点二等比数列的单调性已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则(1)当____________________时，等比数列{an}为递增数列；(2)当____________________时，等比数列{an}为递减数列；(3)当______时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；(4)当______时，等比数列{an}为摆动数列．a10，q1或a10，0q1a10，0q1或a10，q1q＝1q0状元随笔由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q0时，等比数列各项的符号相同；q0时，等比数列各项的符号正负交替．知识点三等比数列的其它性质若{an}是公比为q的等比数列，则(1)若m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，ap，an成等比数列；(2)数列{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}都是等比数列，且公比分别是q，1q，q2.(3)若{bn}是公比为p的等比数列，则{anbn}与anbn也都是等比数列，公比分别为pq和qp.(4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1.(5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列．状元随笔若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；若数列{bn}是等差数列，公差为d，则数列{cbn}是以cd(c0且c≠1)为公比的等比数列．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”){an}是公比为q的等比数列．(1)当q1时，{an}为递增数列．()(2)当q＝1时，{an}为常数列．()(3)若m＋n＝p，则am·an＝ap.()(4)若m＋n＝2p，则am·an＝a2p.()×√×√2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列解析：由于anan＋1an－1an＝anan－1×an＋1an＝q·q＝q2，n≥2且n∈N*，∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列．故选B.答案：B3．等比数列{an}的公比q＝－14，a1＝2，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：∵q0，a10，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列，选D.答案：D4．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．42解析：a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，成等比数列．设公比为q，则q2＝2，∴q＝2，∴a4a5a6＝52.答案：A类型一等比数列性质的应用例1在等比数列{an}中，(1)a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a20a10等于()A.23B.32C.32或23D．－23或－32(2)若a2a6a10＝1，则a3·a9＝________.【解析】(1)∵a4·a14＝a7·a11＝6，又a4＋a14＝5，∴a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，∴a20a10＝a14a4＝32或23.(2)方法一：由等比数列的性质，有a2a10＝a3a9＝a26，由a2·a6·a10＝1，得a36＝1，∴a6＝1，∴a3a9＝a26＝1.方法二：由等比数列通项公式，得a2a6a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a31·q15＝(a1q5)3＝1，∴a1q5＝1，∴a3a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.【答案】(1)C(2)1(1)a7·a11＝a4·a14＝6，a20a10＝a14a4；(2)a2a6a10＝a36，a3a9＝a26.方法归纳1．解答等比数列问题两种方法比较：基本量法(1)基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；(2)优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．2．利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．因此解题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．跟踪训练1(1)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为()A．16B．32C．48D．64(2)已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.解析：(1)由等比数列的性质可得a1·a9＝a25＝16，因为an0，所以a5＝4，所以a2·a5·a8＝a35＝64.(2)由已知得a10a3＝a1q9a1q2＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a3·qn－3＝3×2n－3.答案：(1)D(2)3×2n－3类型二等比数列的设法与求解例2已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．【解析】由题意设此四个数分别为bq，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组2bq＝a＋b，ab2q＝－80求出，即为a＝10，b＝－2，q＝－2或a＝－8，b＝－2，q＝52，所以此四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.【答案】1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8前三个数可设为bq，b，bq，则可由前三项积的条件求出b.方法归纳等比数列的“对称设项”方法(1)当项数n为奇数时，先设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称地依次设项即可，如三个数成等比数列，可设为aq，a，aq；(2)当项数n为偶数且公比大于0时，先设中间两个数为aq和aq，再以公比为q2向两边对称地依次设项即可，如四个数成等比数列，可设为aq3，aq，aq，aq3，六个数成等比数列可设为aq5，aq3，aq，aq，aq3，aq5.跟踪训练2已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．解析：设这三个数分别为aq，a，aq.则a3＝1，a＋aq＝－32，解得a＝1，q＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.答案：－25，1，－52类型三等比数列与等差数列的综合问题例3等差数列{an}中，a4＝10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a26，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得d2－d＝0，解得d＝0或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200；当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，因此，S20＝20a1＋20×192d＝20×7＋190＝330.状元随笔先由数列{an}为等差数列及a4＝10，将a3，a6，a10分别用a4和公差d来表示，再根据a3，a6，a10成等比数列列出关于d的方程，求出公差d，最后求和.方法归纳求解等差、等比数列综合的问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．(2)发挥两个数列的基本量a1，d或b1，q的作用，并用好方程这一工具．(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．跟踪训练3(1)已知正项等比数列{an}中，a1，12a3,2a2成等差数列，则a100＋a101a98＋a99的值为()A．1＋2B．1－2C．3＋22D．3－22(2)在公差d不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3.则数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q分别为________．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q.由a1，12a3,2a2成等差数列，得2·12a3＝a1＋2a2，∴a3＝a1＋2a2⇒q2＝1＋2q⇒q2－2q－1＝0，易知q0，∴q＝2＋1，∴a100＋a101a98＋a99＝q2a98＋a99a98＋a99＝q2＝3＋22.故选C.(2)由已知可得，1＋d＝q，1＋7d＝q2⇒q＝6，d＝5或q＝1，d＝0(舍去)．答案：(1)C(2)5,6