2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 5 第5讲 三角函数的图象与性质（第1课时

第5讲三角函数的图象与性质第四章三角函数、解三角形1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx函数的最值最大值1，当且仅当__________________；最小值－1，当且仅当___________________最大值1，当且仅当________________；最小值－1，当且仅当_______________无最大值和最小值x＝2kπ＋π2，k∈Zx＝2kπ－π2，k∈Zx＝2kπ，k∈Zx＝2kπ－π，k∈Z函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性增区间____________________________减区间____________________________增区间__________________________减区间__________________________增区间__________________k·2π＋π2](k∈Z)[k·2π＋π2，[k·2π－π，[k·2π，(k·π－π2，[k·2π－π2，k·2π＋3π2](k∈Z)k·2π](k∈Z)k·2π＋π](k∈Z)k·π＋π2)(k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为___周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为___周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为___2π2ππ函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心________________________________________对称轴_____________________________无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋π2，k∈Zkπ，k∈Z(kπ，0)，k∈Zkπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z2.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝2π|ω|；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝π|ω|.非零常数Tf(x＋T)＝f(x)T常用知识拓展1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内是减函数．()(2)若y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．()(4)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．()(5)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×函数y＝tan2x的定义域是()A．x|x≠kπ＋π4，k∈ZB．x|x≠kπ2＋π8，k∈ZC．x|x≠kπ＋π8，k∈ZD．x|x≠kπ2＋π4，k∈Z解析：选D.由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以y＝tan2x的定义域为x|x≠kπ2＋π4，k∈Z.(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A．π4B．π2C．πD．2π解析：选C.f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sin2xcos2x＝sinxcosxcos2x＋sin2x＝sinxcosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为__________，此时x＝________．解析：函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．答案：53π4＋2kπ(k∈Z)函数f(x)＝2sinx＋π4，x∈[0，π]的单调递减区间为________．解析：当2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，即2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z时，函数f(x)是减函数．又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递减区间为π4，π.答案：π4，π第1课时三角函数的图象与性质(一)(1)函数y＝1tanx－1的定义域为________．(2)函数y＝lgsinx＋cosx－12的定义域为________．三角函数的定义域(师生共研)【解析】(1)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z.(2)要使函数有意义，则有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.【答案】(1)x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z(2)x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．1．函数y＝lg(3tanx－3)的定义域为________．解析：要使函数y＝lg(3tanx－3)有意义，则3tanx－30，即tanx33.所以π6＋kπxπ2＋kπ，k∈Z.答案：π6＋kπ，π2＋kπ，k∈Z2．函数y＝sinx－cosx的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx.解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，故原函数的定义域为2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．答案：2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)角度一确定三角函数的单调性(单调区间)(1)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2，π上为减函数的是()A．y＝sin2xB．y＝2|cosx|C．y＝cosx2D．y＝tan(－x)三角函数的单调性(多维探究)(2)函数f(x)＝sinπ3－2x的单调递减区间为________．【解析】(1)对于A，y＝sin2x的最小正周期为π，在区间π2，π上先减后增；对于B，y＝2|cosx|的最小正周期为π，在区间π2，π上为增函数；对于C，y＝cosx2的最小正周期为4π，在区间π2，π上为减函数；对于D，y＝tan(－x)的最小正周期为π，在区间π2，π上为减函数．故选D.(2)f(x)＝－sin2x－π3的减区间是f(x)＝sin2x－π3的增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所给函数的单调递减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.【答案】(1)D(2)kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z[迁移探究1](变条件)本例(2)f(x)变为：f(x)＝tan2x－π3，求f(x)的单调递增区间．解：由kπ－π22x－π3kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2－π12xkπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)．[迁移探究2](变条件)本例(2)f(x)变为：f(x)＝sin2x－π3，试讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．解：令z＝2x－π3，易知函数y＝sinz的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.设A＝－π4，π4，B＝x|－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.所以，当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，又因为π4－－π4＝π2T，所以f(x)在区间－π4，－π12上单调递减．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒]要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．角度二利用三角函数的单调性比较大小已知函数f(x)＝2sinx＋π3，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．cabC．bacD．bca【解析】a＝fπ7＝2sin10π21，b＝fπ6＝2sinπ2＝2，c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3，因为y＝sinx在0，π2上单调递增，且π310π21π2，所以cab.【答案】B利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．角度三已知三角函数的单调区间求参数(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π【解析】法一：f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以－a≥－π4，a≤3π4，解得a≤π4，所以0a≤π4，所以a的最大值是π4，故选A.法二：因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即2sinx＋π4≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝2sinx＋π4的图象可知有－a＋π4≥0，a＋π4≤π，解得a≤π4，所以0a≤π4，所以a的最大值是π4，故选A.【答案】A已知三角函数的单调区间求参数的方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．角度四利用三角函数的单调性求值域(最值)函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为()A．－32，32B．－32，3C．－332，332D．－332，3【解析】当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2