2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 3 第3讲 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A版

第3讲等比数列及其前n项和第六章数列1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比等于____________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达式为________________________．2同一常数公比an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒____________．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝________．(2)前n项和公式：Sn＝____，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.GG2＝aba1qn－1na13．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝_________＝____；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．ap·aqa2r常用知识拓展1．等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(5)等比数列中不存在数值为0的项．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝()A．－12B．－2C．2D．12解析：选D.由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝14②，由②÷①得q3＝18，解得q＝12.故选D.已知数列{an}满足an＝12an＋1，若a3＋a4＝2，则a4＋a5＝()A．12B．1C．4D．8解析：选C.法一：因为an＝12an＋1得an＋1an＝2，所以{an}为等比数列，其公比为2，又a3＋a4＝2得a1＝16，则a4＋a5＝a1q3＋a1q4＝4.法二：已知an＝12an＋1，可得an＋1＝2an，所以a4＋a5＝2a3＋2a4＝2(a3＋a4)＝2×2＝4.设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．解析：设等比数列{an}的公比为q(q0)，由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得16＝q4，解得q＝2，所以S7＝a1（1－q7）1－q＝1×（1－27）1－2＝127.答案：127在等比数列{an}中，若a1a5＝16，a4＝8，则a6＝________．解析：因为a1a5＝16，所以a23＝16，所以a3＝±4.又a4＝8，所以q＝±2.所以a6＝a4q2＝8×4＝32.答案：32(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.等比数列的基本运算(师生共研)【解】(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－（－2）n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.解决等比数列有关问题的常见数学思想(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或a11－q当成整体进行求解．1．(2019·四川成都模拟)设{an}是公比为负数的等比数列，a1＝2，a3－4＝a2，则a3＝()A．2B．－2C．8D．－8解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝2，a3－a2＝a1(q2－q)＝4，所以q2－q＝2，解得q＝2(舍去)或q＝－1，所以a3＝a1q2＝2，故选A.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝34，则S4＝____________．解析：通解设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝34，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝a1（1－q3）1－q＝34，得1＋q＋q2＝34，解得q＝－12，所以S4＝a1（1－q4）1－q＝1×1－－1241－－12＝58.优解一设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝34，a1＝1，所以1＋q＋q2＝34，解得q＝－12，所以a4＝a1·q3＝－123＝－18，所以S4＝S3＋a4＝34＋－18＝58.优解二设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn＝A(1－qn)(其中A为常数)，则a1＝S1＝A(1－q)＝1①，S3＝A(1－q3)＝34②，由①②可得A＝23，q＝－12.所以S4＝23×1－－124＝58.答案：583．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．解：(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.(1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．等比数列的判定与证明(典例迁移)【解】(1)选D.设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a26＝a3·a9.(2)证明：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．[迁移探究1](变问法)若本例(2)中的条件不变，试求{an}的通项公式．解：由(2)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以an＋12n＋1－an2n＝34，故an2n是首项为12，公差为34的等差数列．所以an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，所以an＝(3n－1)·2n－2.[迁移探究2](变条件)在本例(2)中，若cn＝an3n－1，证明：数列{cn}为等比数列．证明：由[迁移探究1]知，an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.所以cn＋1cn＝2n－12n－2＝2，又c1＝a13×1－1＝12，所以数列{cn}是首项为12，公比为2的等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋16，则a的值为()A．－13B．13C．－12D．12解析：选A.法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋16，所以a＋16＝a2，所以a＝－13.法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k×qn－k，则12a＝－16，a＝－13.2．(2018·高考全国卷Ⅰ节选)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由．解：(1)由条件可得an＋1＝2（n＋1）nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．角度一等比数列项的性质的应用(1)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，则a1a17a9的值为()A．22B．4C．－22或22D．－4或4等比数列的性质及应用(多维探究)(2)(2019·武汉华师附中调研)数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则使不等式a21＋a22＋…＋a2n5×2n＋1成立的n的最大值为()A．2B．3C．4D．5【解析】(1)因为a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，所以a3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均为正，由等比数列的性质知，a1a17＝a29＝a3a15＝8，所以a9＝22，a1a17a9＝22，故选A.(2)因为an＝2n－1，a2n＝4n－1，所以a21＋a22＋…＋a2n＝1×（1－4n）1－4＝13(4n－1)．因为a21＋a22＋…＋a2n5×2n＋1，所以13(4n－1)5×2n＋1，所以2n(2n－30)1，对n进行赋值，可知n的最大值为4.【答案】(1)A(2)C角度二等比数列前n项和的性质的应用(一题多解)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为()A．1B．2C．3D．5【解析】法一：因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝（a5＋a7）2a1＋a3＝428＝2.同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝（a9＋a11）2a5＋a7＝224＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3