2020-2021学年高中数学 第一章 数列 3 等比数列 第4课时 等比数列的综合应用课件 北师大

第一章数列§3等比数列第4课时等比数列的综合应用自主预习学案如今手机越来越普遍，大街小巷都可看到手机的风采，用手机发送信息传达情谊也成为年轻人的时尚．一条温馨的信息会带给我们无穷的温暖．一条信息，一种关怀，设想一人收到某信息后用10分钟将它传给两个人，这两个人又用10分钟将此信息各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给多少人？错位相减法1．用错位相减法求数列的前n项和如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用____________.方法如下：设Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.当q＝1时，{bn}是常数列，Sn＝b1(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝nb1a1＋an2；qSn当q≠1时，则：____________＝qa1b1＋qa2b2＋qa3b3＋…＋qanbn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，∴(1－q)Sn＝a1b1＋b2(a2－a1)＋b3(a3－a2)＋…＋bn(an－an－1)－anbn＋1＝a1b1＋d·b1·q1－qn－11－q－anbn＋1.∴Sn＝a1b1＋b1dq1－qn－11－q－anbn＋11－q.等比数列2．等比数列前n项和性质(1)数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成____________.(Sn≠0)(2)若某数列前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N＋)，则{an}成____________.(3)若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sn＋m＝____________.②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则S偶S奇＝____________.等比数列Sn＋qnSmq1．若等比数列{an}满足anan＋1＝64n，则公比为()A．2B．4C．8D．16C[解析]本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力．∵an·an＋1＝64n，∴an－1·an＝64n－1，∴an·an＋1an－1·an＝an＋1an－1＝q2＝64n64n－1＝64，∴q＝8.2．在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6等于()A．140B．120C．210D．520A[解析]∵q2＝a3＋a4a1＋a2＝4020＝2，∴S6＝a11－q61－q＝a11＋q1－q61－q1＋q＝a11＋q1－q2(1－q6)＝a1＋a21－q61－q2＝20×1－81－2＝140.D3．《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是()A．1＋12＋122＋…＋12n＝2－12nB．1＋12＋122＋…＋12n＋…2C．12＋122＋…＋12n＝1D．12＋122＋…＋12n＋…1[解析]据已知可得每次截取的长度构造一个以12为首项，以12为公比的等比数列，∵12＋122＋…＋12n＋…＝1－12n1.故选D．B4．等比数列{an}的公比为12，且S3＝1，则S6等于()A．916B．98C．169D．278[解析]∵q＝12，S3＝a11－1231－12＝2a11－18＝74a1＝1，∴a1＝47.∴S6＝471－1261－12＝871－164＝98.5．(2018·全国卷Ⅰ理，14)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝____________.－63[解析]依题意，Sn＝2an＋1，Sn＋1＝2an＋1＋1，作差得an＋1＝2an，所以数列{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1，所以an＝－2n－1，所以S6＝－1·1－261－2＝－63.互动探究学案命题方向1⇨与前n项和有关的等比数列的性质问题A各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于()A．150B．－200C．150或－200D．400或－50[分析]本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n项和公式列方程，确定基本量a1，q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解．例题1[解析]解法一：设首项为a1，公比为q，由题意知q≠±1.由a11－q101－q＝10①a11－q301－q＝70②，由以上两式相除得q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，代入①有a11－q＝－10，∴S40＝a11－q401－q＝－10×(－15)＝150.解法二：易知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成公比为q10的等比数列，则S30＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＝S10＋q10S10＋q20S10，即q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，∴S40＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30)＝10(1＋2＋22＋23)＝150.解法三：运用性质Sm＋n＝Sm＋qmSn求解，∵S30＝S20＋q20S10＝S10＋q10S10＋q20S10从而有q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)．∴S40＝S30＋q30S10＝70＋8×10＝150.解法四：易知q≠±1，∵S301－q30＝S101－q10，∴q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)．又S301－q30＝S401－q40，所以S40＝150.『规律总结』在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm＋n＝Sm＋qmSn，解法四运用了等比数列的性质：当q≠±1时，Sm1－qm＝Sn1－qn.〔跟踪练习1〕设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64C[解析]考查了等比数列前n项和．由条件知：an0，且a1＋a2＝3a1＋a2＋a3＋a4＝15，∴a11＋q＝3a11＋q＋q2＋q3＝15∴q＝2.∴a1＝1，∴S6＝1－261－2＝63.命题方向2⇨用错位相减法求和设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1、a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．例题2[分析](1)令n＝1，n＝2求a1，a2；由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得an为等比数列．[解析](1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21，因为a1≠0，所以a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1，于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.『规律总结』如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，则数列{anbn}的前n项和一般可采用这一“错项相减”求和法，解题的关键是在等式Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的两边同乘以等比数列{an}的公比q，得qSn，由Sn－qSn消去相同的项，或合并同类项化简得Sn，在写Sn与qSn表达式时，应特别注意“错项对齐”，以便于下一步准确写出Sn.〔跟踪练习2〕(2018·浙江卷，20)已知等比数列{an}的公比q1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式．[解析](1)由a4＋2是a3，a5的等差中项，得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.由a3＋a5＝20，得8q＋1q＝20，解得q＝2或q＝12.因为q1，所以q＝2.(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn.由cn＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，解得cn＝4n－1.由(1)可得an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)×12n－1，故bn－bn－1＝(4n－5)×12n－2，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)×12n－2＋(4n－9)×12n－3＋…＋7×12＋3.设Tn＝3＋7×12＋11×122＋…＋(4n－5)×12n－2，n≥2，则12Tn＝3×12＋7×122＋…＋(4n－9)×12n－2＋(4n－5)×12n－1，所以12Tn＝3＋4×12＋4×122＋…＋4×12n－2－(4n－5)×12n－1，因此Tn＝14－(4n＋3)×12n－2，n≥2.又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)×12n－2.命题方向3⇨数列与函数的综合应用例题3以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)均在一次函数y＝2x＋k的图像上，数列bn＝an＋1－an(n∈N＋，b1≠0)．(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．[分析](1)本题考查等比数列与函数知识．先由点P(an，an＋1)在一次函数y＝2x＋k上，结合bn＝an＋1－an，求出bn与bn＋1之间的关系；(2)利用(1)中得到的结论求出Sn，Tn及其关系后利用S6＝T4，S5＝－9，求k的值．[解析](1)由题意，得an＋1＝2an＋k，bn＝an＋1－an，∴bn＝2an＋k－an＝an＋k，∴bn＋1＝an＋1＋k＝(2an＋k)＋k＝2(an＋k)．即bn＋1＝2bn.∵b1≠0，∴bn＋1bn＝2(n∈N＋)，∴数列{bn}是以2为公比的等比数列．(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得Tn＝b11－2n1－2＝b1(2n－1)，由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk.∵S6＝T4，S5＝－9，∴63b1－6k＝15b1，31b1－5k＝－9，解得k＝8.『规律总结』本题是等比数列与函数、方程组合的综合性问题．注意由bn＝an＋k可得b1＋b2＋…＋bn＝a1＋a2＋…＋an＋nk，即Tn＝Sn＋nk.〔跟踪练习3〕已知f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列(n为正偶数)，又f(1)＝n2，f(－1)＝n.(1)求数列的通项公式an；(2)试比较f(12)与3的大小，并说明理由．[解析](1)∵f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，f(1)＝n2，f(－1)＝n，∴f(1)＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2，f(－1)＝－a1＋a2－a3＋a4－…－an－1＋an＝n.由题意，得na1＋an2＝n2，n2d＝n.∴a1＋an＝2n，d＝2，∴2a1＋(n－1)×2＝2n，∴a1＝1，∴an＝2n－1.(2)∵f(12)＝12＋3