2020-2021学年高中数学 第一章 数列 2 等差数列 第4课时 等差数列的综合应用课件 北师大

第一章数列§2等差数列第4课时等差数列的综合应用自主预习学案在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块石板，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？二次1．等差数列前n项和的二次函数形式等差数列的前n项和Sn＝na1＋nn－12d可以改写成：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n.当d≠0时，Sn是关于n的____________函数，所以可借助____________函数的有关性质来处理等差数列前n项和Sn的有关问题．2．等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0.则Sn存在最____________值；a10，d0，则Sn存在最____________值．二次大小nd3．等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝____________，S奇S偶＝____________.(2)若项数为2n－1，则S奇－S偶＝____________，S奇S偶＝____________.4．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和记为Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an，则an＝S1n＝1_____________n≥2.anan＋1annn－1Sn－Sn－11．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．45B．75C．180D．300[解析]由a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，得a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.C2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27B[解析]解法一：∵{an}是等差数列，∴S3、S6－S3、S9－S6为等差数列．∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴S9－S6＝2S6－3S3＝45.解法二：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，令bn＝Snn，则{bn}成等差数列．由题设b3＝S33＝3，b6＝S66＝6，∴b9＝2b6－b3＝9.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝9b9－36＝45.A3．已知等差数列{an}中，前15项之和为S15＝90，则a8等于()A．6B．154C．12D．452[解析]∵S15＝a1＋a2＋…a15＝15a8＝90，∴a8＝6.4．在等差数列{an}中，a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，则它的前10项和为____________.210[解析]设等差数列{an}的公差为d，解法一：a5＋a10＝2a1＋13d＝58，a4＋a9＝2a1＋11d＝50，∴a1＝3，d＝4，∴S10＝10×3＋10×92×4＝210.解法二：a5＋a10＝(a1＋a10)＋4d＝58，a4＋a9＝(a1＋a10)＋2d＝50，∴a1＋a10＝42，∴S10＝10a1＋a102＝210.5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，当Sn取最大值时，n的值为____________.4或5[解析]设等差数列{an}的公差为d，由a4＝a1＋3d＝1，S5＝5a1＋10d＝10，得a1＝4，d＝－1，Sn＝4n－nn－12＝－n2＋9n2＝－12n－922＋818，又∵n∈N＋，∴当n＝4或n＝5时，Sn最大．互动探究学案命题方向1⇨已知Sn求an例题1已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋2052n，求数列{an}的通项公式an.[分析]利用an与Sn的关系an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，求解．[解析]当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－32n2＋2052n－－32n－12＋2052n－1＝－3n＋104.当n＝1时，a1＝S1＝－32＋2052＝101满足上式，∴an＝－3n＋104(n∈N＋)．『规律总结』如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列也随之确定：a1＝S1，a2＝S2－S1，a3＝S3－S2，…，其通项公式如下：an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，利用这一公式应当注意：检验n＝1时，a1＝S1是否符合an＝Sn－Sn－1(n≥2)的形式．如果符合，则可将a1＝S1合并到an＝Sn－Sn－1(n≥2)中；如果不符合，则必须采用分段函数的形式来表示，不能直接用an＝Sn－Sn－1.〔跟踪练习1〕Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.(1)Sn＝2n2＋3n＋2；(2)Sn＝3n－1.[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，∴an＝7n＝14n＋1n≥2.(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式，∴an＝2×3n－1(n∈N＋)．命题方向2⇨等差数列前n项和的性质B例题2含(2n＋1)项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A．2n＋1nB．n＋1nC．n－1nD．n＋12n[分析]要清楚等差数列中奇数项与偶数项也分别构成等差数列，可求和，然后作比，进行解答.由于本题的比值是要对任意的等差数列都成立，因此也可采用取特殊数列进行验证与排除的方法．[解析]解法1：设原数列为a1，a2，a3，…，a2n＋1，公差为d，则a1，a3，a5，…，a2n＋1和a2，a4，a6，…，a2n分别也为等差数列，公差都为2d.故S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝(n＋1)a1＋n＋1[n＋1－1]2·2d＝(n＋1)(a1＋nd)．S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝na2＋nn－12·2d＝n(a1＋d)＋n(n－1)d＝n(a1＋nd)．故S奇S偶＝n＋1a1＋ndna1＋nd＝n＋1n.∴应选B．解法2：∵S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝n＋1a1＋a2n＋12，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝na2＋a2n2，又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴S奇S偶＝n＋1n.∴应选B．方法3：取满足条件的等差数列：1,2,3，公差d＝1，且S奇＝1＋3＝4，S偶＝2.S奇S偶＝42＝2＝1＋11.∴应选B．『规律总结』关于等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质．(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝d＋d＋…＋d＝nd.S奇S偶＝n2a1＋a2n－1n2a2＋a2n＝2an2an＋1＝anan＋1＝中间相邻项之比．(2)若项数为2n－1，则由等差数列的性质：a1＋a2n－1＝a2＋a2n－2＝…＝2an，∴S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝n－12(a2＋a2n－2)＝n－12×2an＝(n－1)an，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝n2(a1＋a2n－1)＝n2×2an＝nan.∴S奇－S偶＝nan－(n－1)an＝an，这里an＝a中，S奇S偶＝nann－1an＝nn－1＝奇数项与偶数项的项数之比．熟悉并掌握性质，对我们解题大有裨益．B〔跟踪练习2〕(1)在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所以偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．12(2)设Sn为等差数列的前n项和，若Sm＝40，S3m＝345，则S2m＝____________.155[解析](1)由S奇S偶＝n＋1·a1＋a2n＋12n·a2＋a2n2＝n＋1n＝165150.解得：n＝10.(2)∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴2(S2m－40)＝40＋345－S2m.∴S2m＝155.命题方向3⇨等差数列前n项和的最值问题在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9.试求前n项和Sn的最大值．[分析]可先由已知条件求出公差，进而得前n项和公式，从而二次函数求最值的方法求解；也可以先求得通项公式，再利用等差数列的性质求解．例题3[解析]解法一：由S17＝S9，得25×17＋17×17－12d＝25×9＋9×9－12d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋nn－12×(－2)＝－(n－13)2＋169.由二次函数性质，得当n＝13时，Sn取得最大值169.解法二：先求出d＝－2(同解法一)．∵a1＝250，d＝－2，∴an＝25－2n－1≥0an＋1＝25－2n≤0，得n≤1312n≥1212.即1212≤n≤1312.∴当n＝13时，Sn取得最大值S13＝13×25＋1313－12×(－2)＝169.解法三：先求出d＝－2(同解法一)．由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0.而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－20，a10，∴a130，a140.故n＝13时，Sn取得最大值169.解法四：先求出d＝－2(同解法一)．由d＝－2，得Sn的图像如图所示的曲线上均匀分布的点，由S17＝S9，知图像的对称轴n＝9＋172＝13.所以，当n＝13时，Sn取得最大值169.『规律总结』求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路：(1)将Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足an≥0，an＋1≤0的项数n，使Sn取最大值．当a10，d0时，满足an≤0，an＋1≥0的项数n，使Sn取最小值．B〔跟踪练习3〕已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为()A．5B．6C．7D．8[解析]由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9a5，所以d0，a10.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图像的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.命题方向4⇨求数列{|an|}的前n项和等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．[分析]由已知条件可求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出前n项和．例题4[解析]等差数列{an}的公差为：d＝a17－a117－1＝－12－－6016＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63.又因为an0时，3n－630，n21，所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．设Sn和S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．当0n≤20时，S′n＝－Sn＝－[－60n＋3nn－12]＝－32n2＋1232n；当n20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋3nn－12－2×(－60×20＋20×192×3)＝32n2－1232n＋1260.所以数列{|an|}的前n项和为：S′n＝－32n2＋1232n，n≤20，且n∈N＋32n2－1232n＋1260，n20，且n∈N＋『规律总结』数列{|an|}的前n项和仅受{an}中负数项的影响，因此要首先找出这些负数项．而由等差数列的单调性知，它们要么在数列的前半部分，要么在数列的后半部分．一般地，先令an＝0找到正、负数项的分界处，再由公差确定项的正负．数列{|an|}并不一定是等差数列，求和时需要分类讨论．〔跟踪练习4〕(1)(2019·南京