2020-2021学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判

2.3.2平面与平面垂直的判定1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.(2)图示和记法图示记法二面角α-l-β或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q【思考】根据“从一条直线出发的两个半平面”,想一想,能否用运动的观点定义二面角?提示:二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.2.二面角的平面角文字语言在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角图形语言符号语言α∩β=l,O∈l,OA⊂α,OB⊂β,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB为二面角α-l-β的平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角【思考】二面角的平面角的定义中,“棱l上”、“在半平面α和β内”、“垂直于棱”可以缺少一个吗?提示:这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不可.实际上,二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的惟一性和平面角所在的平面与棱垂直.3.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.(3)判定定理:文字语言一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β【思考】(1)由面面垂直的定义中“直二面角”可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系?提示:作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直,反之,由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化.(2)由面面垂直的判定定理中“l⊥α,l⊂β”,可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系?提示:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此证明面面垂直可转化为证明线面垂直.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.()(3)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(4)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.()提示:(1)×.由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以(1)不对,实质上它共有四个二面角.(2)×.对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.(3)√.由a,b垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故(3)正确.(4)×.如图所示,长方体中平面α内有一条直线l垂直于平面β内的一条直线m,但是平面α与平面β不垂直.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角是()A.∠ABCB.∠ABB1C.∠ABA1D.∠ABC1【解析】选C.因为AB⊥BC,B1B⊥BC,B1B∩AB=B,所以BC⊥平面ABB1A1,又因为A1B⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1B,所以∠ABA1是二面角A-BC-A1的平面角.3.如图所示,在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,则有()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面BCD【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BD∩BC=B,且BC,BD⊂平面BCD,所以AD⊥平面BCD.因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.类型一二面角的概念及其大小计算【典例】如图所示,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.62【思维·引】一方面借助侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为,求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,并解直角三角形求正切值.62【解析】取AD中点M,连接MO,PM,因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OD,所以OM⊥AD,因为PO⊥底面ABCD,所以∠POA=∠POD=90°,所以△POA≌△POD,所以PA=PD,所以PM⊥AD,所以∠PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,因为PO⊥底面ABCD,所以∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角,所以tan∠PAO=,设正方形ABCD的边长为a,则AO=a,所以PO=AO·tan∠PAO=a×=a,所以tan∠PMO=,所以∠PMO=60°.故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是60°.6222226232OP3OM【素养·探】在与二面角的概念及其大小计算有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,依据二面角的平面角的定义在柱、锥、台中作出二面角的平面角并计算大小.将本例的条件“侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为”改为“底面边长为a,E是PC的中点.若二面角E-BD-C为30°”,求四棱锥P-ABCD的体积.62【解析】取OC的中点F,连接EF,OE,如图所示,因为E为PC的中点,所以EF为△POC的中位线,所以EF∥PO,因为PO⊥底面ABCD,所以EF⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以EF⊥BD,因为OF⊥BD,EF⊥BD,OF∩EF=F,所以BD⊥平面EOF,OE⊂平面EOF,所以BD⊥OE,所以∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,所以∠EOF=30°,因为OF=OC=AC=a,121424所以在Rt△EOF中,EF=OF·tan30°=a,所以OP=2EF=a,故VP-ABCD=×a2×a=a3.612661366618【类题·通】1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.2.作二面角的平面角的方法方法一:(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.方法二:(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.方法三:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.提醒:二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.【习练·破】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1-BD-A的正切值为()A.B.C.D.322223【解析】选C.如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,O为BD的中点,因为A1D=A1B,所以在△A1BD中,A1O⊥BD.又因为在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设AA1=1,则AO=.所以tan∠A1OA=2212.22＝2.如图,已知锐二面角α-l-β,A为面α内一点,A到β的距离为2,到l的距离为4.求二面角α-l-β的大小.【解析】作AO⊥β于O,OD⊥l于D,易证l⊥平面AOD,所以AD⊥l,所以∠ADO是二面角α-l-β的平面角,在Rt△AOD中,因为sin∠ADO=所以∠ADO=30°.所以二面角α-l-β的大小为30°.AO21,AD42【加练·固】一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定【解析】选D.反例:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CD,C1D1的中点,二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补.类型二证明平面与平面垂直【典例】1.(2019·长春高一检测)如图所示,在四面体ABCD中,△ABC是边长为2的正三角形,△ACD是直角三角形,且AD=CD,且BD=2,E为DB的中点.(1)求证:平面ACD⊥平面ABC.(2)求二面角E-AC-B的大小.2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,证明:平面BDD1B1⊥平面A1C1CA.【思维·引】1.(1)作出二面角D-AC-B的平面角,并证明二面角D-AC-B是直二面角推出平面ACD⊥平面ABC.(2)作出二面角E-AC-B的平面角,在三角形中求解即可.2.依据题目条件,要证平面BDD1B1⊥平面A1C1CA,只要证BD⊥平面A1C1CA.【解析】1.(1)取AC的中点O,连接OB,OD,因为△ABC是边长为2的正三角形,△ACD是直角三角形,且AD=CD,所以OB⊥AC,OD⊥AC,所以∠DOB是二面角D-AC-B的平面角.因为OD=1,OB=,BD=2,所以OD2+OB2=BD2,即OB⊥OD,所以二面角D-AC-B是直二面角,因此,平面ACD⊥平面ABC.3(2)连接OE,由(1)可得AC⊥平面BOD,且∠OBD=30°,所以AC⊥OE,所以∠EOB是二面角E-AC-B的平面角.在直角△BOD中,因为E是BD的中点,所以OE=EB,所以∠BOE=∠OBD=30°,即二面角E-AC-B的大小是30°.2.由于四边形BB1D1D是矩形,所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B,所以BD⊥A1A.又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.因为AC∩A1A=A,所以BD⊥平面A1C1CA.因为BD⊂平面BDD1B1,所以平面BDD1B1⊥平面A1C1CA.【内化·悟】证明平面与平面垂直的关键是什么?提示:找到其中一个平面中与另一平面垂直的直线.【类题·通】证明平面与平面垂直的两个常用方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:①找出两相交平面的平面角;②证明这个平面角是直角;③根据定义,这两个相交平面互相垂直.(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:【习练·破】1.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是正三角形,侧棱垂直于底面),侧棱长AA1=2,底面边长AB=1,N是CC1的中点.求证:平面ANB1⊥平面AA1B1B.【证明】取AB中点E,AB1的中点M,连接ME,CE,MN,则有ME∥NC,且ME=NC,所以四边形MECN是平行四边形,所以MN∥CE,因为AA1⊥平面ABC,CE⊂平面ABC,所以AA1⊥CE,又CE⊥AB,AA1∩AB=A,所以CE⊥平面AA1B1B,所以MN⊥平面AA1B1B,又MN⊂平面ANB1,所以平面ANB1⊥平面AA1B1B.2.已知在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D,F分别为AC,PC的中点,DE⊥AP于E.(1)求证:AP⊥平面BDE.(2)求证:平面BDE⊥平面BDF.【证明】(1)因为PC⊥底面ABC,BD⊂底面ABC,所以PC⊥BD;又AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC,PC∩AC=C,所以BD⊥平面PAC,PA⊂平面PAC,所以PA⊥BD,又DE⊥AP,BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,所以AP⊥平面BDE.(2)由AP⊥平面BDE知,AP⊥DE;又D,F分别为AC,PC的中点,所以DF是△PAC的中位线,所以DF∥A