2020-2021学年高中数学 第3章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与

第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1.通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2.通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养．自主预习探新知1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.正方向向上(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的．(2)记法：k＝．正切值tanα(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°＜α＜180°斜率(范围)___不存在90°0(0，＋∞)(－∞，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝__________．y2－y1x2－x1思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算A[∵k＝04＝0，∴θ＝0°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是()A.0°B．45°C．60°D．90°C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A.5B．8C．132D．7A[由题意可知，k＝tan30°＝33.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.33B．3C.1D．22合作探究释疑难直线的倾斜角【例1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[跟进训练]1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°α90°)，则其倾斜角为()A.αB．180°－αC.180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】(1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为()A.(2，0)或(0，－4)B．(2，0)或(0，－8)C.(2，0)D．(0，－8)(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A.(－1，0]B．[0，1]C.[1，2]D．[0，2](1)B(2)D[(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝43－x或kAB＝4－y3，∴43－x＝4或4－y3＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8).(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．[跟进训练]2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过原点且斜率为33的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．(1)－5(2)3[(1)直线AB的斜率k＝tan135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.(2)k＝33时，即tanα＝33，α＝30°，绕原点按逆时针旋转30°到l′位置时，xl′＝60°.这时kl′＝tan60°＝3.]直线倾斜角与斜率的综合[探究问题]1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2.2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tanα＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tanα＞0时，倾斜角α是锐角；当k＝tanα＝0时，倾斜角α是0°.【例3】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围[解]如图所示，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为：已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．[解]如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝3－23－（－4）＝17，kAC＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD的斜率的变化范围是17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．课堂小结提素养直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0k＞0不存在k＜0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4A[由题意知kAB＞0，即m－11－2＞0，解得m＜1，故应选A.]2．若经过A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，＋∞)1±52[依题意：kAB＝kAC，即a－02－1＝1－0a－1，解得a＝1±52.]3．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．4．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解]l2的斜率为6－38－5＝1，∴l2的倾斜角为45°，由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.Thankyouforwatching!