2020-2021学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修

第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．(重点)3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．(难点、易混点)核心素养1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算素养.2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理素养.3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模素养.自主预习探新知1．半角公式2．辅助角公式asinx＋bcosx＝(其中tanθ＝ba)．a2＋b2sin(x＋θ)1．已知180°＜α＜360°，则cosα2的值等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D.1＋cosα2C[∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，∴cosα2＜0，故应选C.]2．2sinθ＋2cosθ＝()A．sinθ＋π4B．22sinθ＋3π4C．22sinθ＋π4D.2sinθ＋π4C[原式＝22sinθ×22＋cosθ×22＝22sinθcosπ4＋cosθsinπ4＝22sinθ＋π4.]3．函数f(x)＝2sinx＋cosx的最大值为．5[f(x)＝22＋12sin(x＋θ)＝5sin(x＋θ)≤5.]4．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－35，cosθ＜0，则tanθ2的值等于．－3[由sinθ＝－35，cosθ＜0得cosθ＝－45，∴tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2sinθ2cosθ22cos2θ2＝sinθ1＋cosθ＝－351＋－45＝－3.]合作探究释疑难化简求值问题【例1】(1)设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2(2)已知πα3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.思路点拨：(1)先确定θ4的范围，再由sin2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2，去根号，确定α2的范围，化简．(1)D[∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈5π2，3π，θ4∈5π4，3π2.又cosθ2＝a，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.](2)[解]原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cosα2＜0，sinα2＞0，∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cosα的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．[跟进训练]1．已知sinα＝－45，π＜α＜3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．[解]∵π＜α＜3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2＜α2＜3π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.(另tanα2＝1－cosαsinα＝1＋35－45＝－2.)三角恒等式的证明【例2】求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．[证明]法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.[跟进训练]2．求证：2sinxcosxsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.[证明]左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】若函数f(x)＝cos4x＋π4－2sinx＋π4cosx＋π4－sin4x＋π4.(1)求f(x)的对称中心和初相；(2)若x∈[0，π]，求函数f(x)的单调递减区间．[解]f(x)＝cos4x＋π4－2sinx＋π4cosx＋π4－sin4x＋π4＝cos2x＋π4－sin2x＋π4－sin2x＋π2＝cos2x＋π2－sin2x＋π2＝－sin2x－cos2x＝－2sin2x＋π4，(1)由2x＋π4＝kπ，k∈Z，可得x＝kπ2－π8，k∈Z，∴f(x)的对称中心为kπ2－π8，0，k∈Z，又f(x)＝－2sin2x＋π4＝2sin2x＋5π4，∴f(x)的初相为5π4.(2)由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，可得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，∴f(x)的递减区间为：kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递减区间为0，π8，5π8，π.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成fx＝asinωx＋bcosωx＋k的形式↓利用辅助角公式化为fx＝Asinωx＋φ＋k的形式，研究其性质[跟进训练]3．已知函数f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4＋3cos2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π4，π4上的值域．[解]f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4＋3cos2x＝1－cos2x＋π22－1－cos2x－π22＋3cos2x＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3.(1)f(x)的最小正周期为2π2＝π；(2)由x∈－π4，π4，得2x＋π3∈－π6，5π6，∴f(x)∈[－1,2]．即f(x)在区间－π4，π4上的值域为[－1,2].三角函数在实际问题中的应用[探究问题]1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．【例4】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？思路点拨：设∠AOB＝α→建立周长lα→求l的最大值[解]设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝2Rsinα＋π4＋R.∵0απ2，∴π4α＋π43π4，∴l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB的周长最大．1．在本例条件下，求长方形面积的最大值．[解]如图所示，设∠AOB＝αα∈0，π2，则AB＝Rsinα，OA＝Rcosα.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，∴S＝2Rcosα·Rsinα＝R2·2sinαcosα＝R2sin2α.∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)．因此，当2α＝π2，即α＝π4时，Smax＝R2.这时点A，D到点O的距离为22R，矩形ABCD的面积最大值为R2.2．若本例中的木料改为圆心角为π3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．[解]如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈0，π6，在Rt△MOE中，ME＝Rsinα，OM＝Rcosα，在Rt△ONH中，NHON＝tanπ6，得ON＝3NH＝3Rsinα，则MN＝OM－ON＝R(cosα－3sinα)，设矩形EFGH的面积为S，则S＝2ME·MN＝2R2sinα(cosα－3sinα)＝R2(sin2α＋3cos2α－3)＝2R2sin2α＋π3－3R2，由α∈0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，所以当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，Smax＝(2－3)R2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.课堂小结提素养1．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝2sinx±π4；sinx±3cosx＝2sinx±π3等．2．常用