2019秋高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义课件 新人教A版选修1

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3．1.2复数的几何意义[学习目标]1.了解复平面、实轴、虚轴等基本概念，理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用(重点).2.理解复数的模的概念并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系(重点、难点)．1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．温馨提示注意表示纯虚数的点都在虚轴上，虚轴上的点除了原点才表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→（O为坐标原点）.3．复数的模(1)定义：复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的_________的模叫复数z的模，记为|z|.(2)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0且r∈R)．向量OZ→1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数．()(2)复数的模一定是正实数．()(3)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.()(4)若OZ→＝(0，－3)，则向量OZ→对应的复数z＝－3i.()解析：(1)错，虚轴上的点除原点外对应的复数是纯虚数．(2)错，复数的模是正实数或零．(3)错，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等．(4)正确，由复数的几何意义，知z＝－3i正确．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知复数z的实部为－1.虚部为2，则|z|＝()A.5B．2C．－5D．－2解析：|z|＝|－1＋2i|＝（－1）2＋22＝5.答案：A3．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解析：复数z所对应的点为Z(m＋3，m－1)，又点Z在第四象限，所以m＋30，m－10，解之得－3m1.答案：A4．设z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)对应，当b＝________时，点Z位于实轴上．解析：当b＝0时，复数z＝a＋bi＝a是实数，所以复数对应的点Z在实轴上．答案：05．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________．解析：因为z是纯虚数，所以m2－9＝0且m2＋2m－3≠0，得m＝3，所以z＝12i，所以|z|＝12.答案：12类型1复数与复平面内的点的关系(自主研析)[典例1](1)(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i×(－2＋i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．(1)解析：z＝i(－2＋i)＝－1－2i，所以z对应点的坐标是(－1，－2)，在第三象限．答案：C(2)解：复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.(2)由题意，得m2－2m－80，m2＋3m－100，所以2m4.(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)0，所以2m4或－5m－2.(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝25.归纳升华1．复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都对应着一个有序实数对(a，b)，这是求解该类问题的依据．2．在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置建立实部和虚部应满足的条件，解方程(不等式)组判定实部和虚部的取值．[变式训练]实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．解：(1)由m2－2m－150，得m－3或m5，所以当m－3或m5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－52，所以当m＝1或m＝－52时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．类型2复数与复平面内的向量的关系[典例❷](1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA→，OB→对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA→对应的复数是()A．－5＋5iB．5－5iC．5＋5iD．－5－5i(2)在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是________．解析：(1)向量OA→，OB→对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA→＝(2，－3)，OB→＝(－3，2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA→＝OA→－OB→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA→对应的复数是5－5i.(2)3－3i对应向量为(3，－3)，与x轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y轴负半轴上，且模为23.故所得向量对应的复数是－23i.答案：(1)B(2)－23i归纳升华1．以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[变式训练]在复平面内，O是原点，向量OA→对应的复数为2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB→对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．解：因为OA→对应的复数为2＋i所以点A的坐标为(2，1)(1)由于点A和点B关于实轴对称所以点B的坐标为(2，－1)，因此OB→对应的复数zB＝2－i(2)因为点B(2，－1)与点C关于虚轴对称．所以点C的坐标为(－2，－1)．故OC→对应的复数zc＝－2－i.类型3复数的模及其几何意义(互动探究)[典例3]在复平面内画出复数z1＝12＋32i，z2＝－1，z3＝12－32i对应的向量OZ1→，OZ2→，OZ3→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为12，32，(－1，0)，12，－32，则向量OZ1→，OZ2→，OZ3→如图所示．|z1|＝122＋322＝1，|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝122＋－322＝1.如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，又|z1|＝|z2|＝|z3|＝1.所以复数z1，z2，z3对应点Z1，Z2，Z3在以原点O为圆心，以1为半径的圆上．[迁移探究1](变式条件，变换问法)已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．解：因为z＝3＋ai(a∈R)，且|z|＜4.所以|z|＝32＋a2＜4.由已知得32＋a2＜42，所以a2＜7，因此实数a的取值范围是(－7，7)．[迁移探究2](改变条件，变换问法)已知复数z1＝－3＋i，z2＝－12－32i.(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？解：(1)|z1|＝（－3）2＋12＝2，|z2|＝－122＋－322＝1.因为21，所以|z1||z2|.(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，则1≤|z|≤2.所以满足1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1与2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界)，如图所示．归纳升华求解复数的模及其几何意义应注意的问题：1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题，体现了数形结合的思想方法．1．复数的两种几何意义：(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．(2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ→相等的向量有无数个．由复数的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决，增加了解决复数问题的途径，这正是数形结合的数学思想的体现．2．复数的模：(1)复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝a2＋b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模从几何意义上理解为：表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应点之间的距离．