2019秋高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不等式的应用课

第三章不等式第2课时一元二次不等式的应用[学习目标]1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．3.掌握一元二次不等式的实际应用．[知识提炼·梳理]1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式．类型同解不等式f（x）g（x）0(0)法1：f（x）0（0），g（x）0或f（x）0（0），g（x）0法2：f(x)·g(x)0(0)f（x）g（x）≥0(≤0)法1：f（x）≥0（≤0），g（x）0或f（x）≤0（≥0），g（x）0法2：f（x）·g（x）≥0（≤0），g（x）≠0f（x）g（x）aa≥a≤a先移项转化为上述两种形式2.一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a0，Δ0.ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a0，Δ0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式1x1的解集为x1.()(2)求解mf(x)恒成立时，可转化为求解f(x)的最小值，从而求出m的范围．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c0恒成立⇔a0Δ＝b2－4ac0.()(4)已知不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为∅，则a0，Δ≤0.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|x－2x≤0}，则A∩B等于()A．{x|－1≤x0}B．{x|0x≤1}C．{x|0≤x2}D．{x|0≤x≤1}解析：因为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0x≤2}，所以A∩B＝{x|0x≤1}．答案：B3．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是()A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2答案：D4．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为()A．1B．－1C．－3D．3解析：因为x2－4x－m≥0，所以m≤x2－4x，x∈(0，1]恒成立，因为y＝x2－4x＝(x－2)2－4在x∈(0，1]的最小值为－3.故m≤－3，所以选C.答案：C5．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0x240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．解析：25x－(3000＋20x－0.1x2)≥0，所以x2＋50x－30000≥0，得x≤－200(舍去)或x≥150，又因为0x240，x∈N，所以150≤x240，x∈N.答案：150类型1分式不等式的解法[典例1]解下列不等式．(1)2x－13x＋1≥0；(2)2－xx＋31.解：(1)原不等式可化为（2x－1）（3x＋1）≥0，3x＋1≠0.解得x≤－13或x≥12，x≠－13.所以x－13或x≥12，所以原不等式的解集为xx－13或x≥12.(2)法一原不等式可化为x＋30，2－xx＋3或x＋30，2－xx＋3.解得x－3，x－12或x－3，x－12.所以－3x－12，所以原不等式的解集为x－3x－12.法二原不等式可化为（2－x）－（x＋3）x＋30，化简得－2x－1x＋30，即2x＋1x＋30，所以(2x＋1)(x＋3)0，解得－3x－12.所以原不等式的解集为x－3x－12.归纳升华分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f（x）g（x）0(0)或f（x）g（x）≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．[变式训练]解下列不等式．(1)1－x3x＋5≥0；(2)x－1x＋21.解：(1)原不等式可化为x－13x＋5≤0，所以（x－1）（3x＋5）≤0，3x＋5≠0，所以－53≤x≤1，x≠－53，即－53x≤1.故原不等式的解集为x－53x≤1.(2)原不等式可化为x－1x＋2－10，所以x－1－（x＋2）x＋20，所以－3x＋20，则x－2.故原不等式的解集为{x|x－2}．类型2一元二次不等式恒成立问题[典例2]已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－10对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．解：若a＝0，原不等式为一次不等式，可化为－x－10，显然它对于任意的x不都成立，所以a＝0不符合题目要求。若a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x都成立，所以对应二次函数的图象抛物线必须开口向下，且判别式Δ0，即a0，①（a－1）2－4a（a－1）0，②整理②，得3a2－2a－10，解得a－13或a1.所以a0，a－13或a1.所以a－13.所以a的取值范围是－∞，－13.归纳升华1．不等式ax2＋bx＋c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件：①当a＝0时，b＝0，c0.②当a≠0时，a0，Δ0.2．不等式ax2＋bx＋c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件：①当a＝0时，b＝0，c0.②当a≠0时，a0，Δ0.类似地，还有f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a；f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a.[变式训练]已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．解：当a2－4＝0时，a＝±2，当a＝－2时，解集为∅；当a2－4≠0时，要使解集为∅，则有a2－40，Δ0，解得－2a65.所以a的取值范围是－2，65.类型3一元二次不等式的实际应用[典例3]某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)依题意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]·1000·(1＋0.6x)＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)，所以本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式为y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)．(2)依题意，得1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)(1.2－1)×1000，化简得3x2－x0，解得：0x13，即为使本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的范围是x0x13.归纳升华解不等式应用题的四步1．阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．2．引入数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．3．解不等式(或求函数最值)．4．回扣实际问题．[变式训练]汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对后同时刹车，但还是撞了．事发后，现场测量甲车的刹车距离超过12m，但不超过15m；乙车的刹车距离超过10m，但不超过12m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x甲＋0.01x2甲，s乙＝0.05x乙＋0.005x2乙，问谁应负主要责任？解：由题意得下列不等式：120.1x甲＋0.01x2甲≤15，①100.05x乙＋0.005x2乙≤12，②①化为120010x甲＋x2甲≤1500，即x2甲＋10x甲－12000，③x2甲＋10x甲－1500≤0.④由③得x甲30或x甲－40(舍去)．由④得－5－561≤x甲≤－5＋561，由③④得30x甲≤－5＋56135.同理解②得40x乙≤－5＋59745.因此乙车车速超出了40km/h的规定，乙车司机应负主要责任．1．解分式不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．2．解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．3．不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R.对于一元二次不等式ax2＋bx＋c0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac0.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac≤0，一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为∅的条件为a0，Δ≤0.